SÉANCE DU 3o NOVEMBRE 1908. Io4l 



entier négatif, et !p(^), '|(') sont des fonctions régulières en :;= r. Dans 

 ce cas la fonction y(;î) devient singulière en 3^ i suivant le type 



(I) _J_=3a„+«,5+...+ o(„5«4-..., 

 et parce que 



la formule asymptotique de M. Darboux pour a„ s'obtient immédiatement, 

 M. Hamy (') s'occupe du cas où f{z) devient singulier en g =: i suivant 

 le type (^) 



r_ ioo-(i ^ -iiT 



(II) ^ l^-z)9 =P.+ (3,-- + .-.+ (3„^"' + ..., 



où p est un nombre réel quelconque, mais diÉFérent de zéro et d'un entier 

 négatif, q est un entier positif. Il obtient 



Maintenant je pose le problème de déterminer l'expression asymptotique 

 du coefficient a,„ lorsque pour/(s) le point s = i est un point d'indétermi- 

 nation. 



Il est impossible de résoudre le problème dans toute sa généralité. Il faut 

 choisir un type spécial, intéressant et important, suivant lequel la fonc- 

 tion _/(;) devient indéterminée en s = i . ./e considère le type 



où p désigne un nombre réel quelconque, et je trouve pour y„ l'expression 

 asymptotique remarquable 



sin 



Pour la démonstration de la formule asymptotique (2), j'emploie une 



(') M. Hamv, Sur l'approximation des fonctions de grands nombres (Journal de 

 Math., 1908). Dans rintroiiuclion de ce Mémoire importanl, on trouve les renseigne- 

 ments nécessaires sur la lilléraliire de la méthode de M. Darboux. 



(-) \ oir aussi H. Poincaré, Leçons de Mécani<jue céleste, t. II, chap. XXIII, 1907. 



