SÉANCE DU 3o NOVEMBRE 190H. Io43 



C'est à celle classe tout à fait générale d'équations que nous ()roposons 

 de donner le nom général d' équations intéf^rales linéaires. Par la transfor- 

 mation 



^ n ^ a ^ n 



n + 1 



cette équation se réduit immédiatement à Téqualion de Volterra . 



(2) a„{x)y{x)-^j F(.r,s)y{s)ds= f{œ)+^c„f„(-r) 



» = 1 

 en posant 



|F(j;,5) = «,(.r) + «.>(-^)^ -'+... + a„(.r)^ — V +••-. 



(3) j ^^ " '■ 



Dans tout intervalle où les fonctions a„ (.c) sont finies et continues, sans 

 avoir besoin de rien supposer sur leur caractère analytique, les séries (3) sont 

 absolument et uniformément convergentes et, sans faire appel à d'autres 

 considérations, la théorie de l'équation de Volterra nous montre simplement 

 que l'équation intégrale d'ordre infini (i) a une solution dépendant linéai- 

 rement d'une infinité de constantes arbitraires, assujetties seulement à la 

 condition de rendre convergente la série 



K = l 



Il est remarquable de constater que c'est le cas le plus simple (2) de 

 l'équation de V^olterra qui se présente couinie le cas général; l'équation 

 générale de Volterra 



f ¥(x,s)y(s)ds=f{x) 



correspond au cas particulier 

 avec 



Cn—O ('1=1, ■>, . . ., co); 



elle revient donc à la détermination de la solution de (i ) qui s'annule ainsi 

 que toutes ses intégrales pour ,t = o ; c'est donc un problème de Cauchy 

 pour (i). 



