SÉANCE DU 7 DÉCEMBRE 190H. IIo5 



et importants travaux de Géométrie infinitésimale. Au début de sa carrière, 

 en 187^), M. Bianchi a fait connaître une élégante méthode de ri-currence 

 qui peimet, étant donnée une surface à couibure constante négative, d'en 

 déduire une suite indéfinie de surfaces nouvelles de même définition. Il suffit 



de tracer sur une surface donnée (S) à courbure constante une famille 



de géodésiques (^), assujetties à concourir en un point à l'infini de la surface; 

 les tangentes à ces géodésiques sont normales à une surface ( I^ ) pour laquelle 

 la différence des rayons de courliure principaux est égale à a\ elles sont de 

 plus tangentes à une autre surface (S,') qui. comme (S), est à courbure 



constante — —-H est vrai (jue ce théorème avait été trouvé dès 1870 par 



Ribaucour, qui avait même montré que toutes les surfaces (S,) dérivées 

 ainsi d'une même surface (S) forment une famille de Lamé. Mais c'est à 

 M. L. Bianchi, qui d'ailleurs ne connaissait pas les propositions énoncées 

 d'une manière incidente par Ribaucour, que revient le grand mérite d'avoir 

 su tirer de la proposition précédente une méthode vraiment originale de 

 transformation des surfaces à courbure constante négative. 



Cette méthode imaginée par M. L. Bianchi a été l'objet d'un grand nombre 

 de travaux. Dès le début, Sophus Lie lui apporta un perfectionnement essen- 

 tiel, en faisant la remarque fondamentale (pie, si l'on comiait les lignes géo- 

 dési(pies de la surface primitive (^S), l'application indéfiniment répétée de la 

 méthode n'exigera plus que des quadratures. Quelque temps après, en i88'j, 

 un géomètre suédois, M. Backlund, généralisa de la manière la plus simple 

 le théorème de Ribaucour et la méthode de M. Bianchi. L'étude analytique 

 et géométrique de tons ces résultats, poursuivie et approfondie par dillérents 

 géomètres, au nombre desquels il faut compter M. Bianchi, a contribué à 

 former un des Chapitrées les plus intéressants de la Géométrie infinitésimale. 

 On peut le résumer en ces termes. Désignons sous le nom de congrucnces^ 

 ces congruences rectilignes dont nous devons la connaissance à M. Guichard 

 et qui jouissent de la propriété que les lignes asymptotiques se correspondent 

 sur les deux nappes de la surface focal(\ (^l'ia posé, il existe une infinité de 

 congruences W pour lesquelles les deux nappes (S), (S,) de la surface 



focale sont des surfaces de même courbure constante négative ;> et, si l'on 



se donne arbitrairenn-nt une des nappes ( S), l'autre pourra s'en déduire ])ar 

 des opérations diilérentielles qui la feront dépendre de deux constantes 

 arbitraires. En d'autres ternies, et suivant la terminologie pittoresque de 

 Sophus Lie, à chaque surface (S) correspondront oo* surfaces (S.V 



On peut caractériser le Mémoire présenté par M. Bianchi en (lisant que 



