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supposerons que A désigne le plus petit argument positif de cette racine. 

 La considération des courbes d'égal module de la fonction 



qui figure à la puissance m sous le signe / , est également de première im- 

 portance pour l'objet que nous avons en vue. 



(_)n reconnaît que, pour | 9(=)| ^= i, ces courbes possèdent une nappe J\' 

 qui se confond avec la circonférence \z\= i . (^uand on fait décroître \'^{z )| 

 d'une façon continue, la nappe A, partant de la circonférence |;| = i, se 

 contracte en se rapprochant en tous sens de l'origine. Le rayon vecteur de 

 cette nappe, dans chacune de ses positions, va d'ailleurs en croissant lorsque 

 l'argument de :; croit, en valeur absolue, de o à 7:. La nappe N continue à 

 se déformer ainsi, en restant fermée, jusqu'à ce qu'elle atteigne le point 



z = tang-, où la dérivée o'^^) devient nulle. Cette nappe occupe alors une 



position particulière que nous désignerons par N,. 



Revenons maintenant à l'équalion A = o. De ses deux racines de module 

 inférieur à 1, l'une est toujours renfermée à linlérieur de la courbe N,, 



puisque son module est inférieur à tang-- La racine Z, au contraire, est, 

 en général, comprise entre la circonférence | ; | = i et la courbe N,, tout au 

 moins lorsque l'e.vcentricifé sin'| est assez petite, puisque — est alois lini, 

 tandis que le ravon vecteur de N, est de Tordre de grandeur de tang-- 



Au surplus, les conditions nécessaires et suffisantes pour (jue la racine Z 

 soit extérieure à N, sont 



p, < cot -'-, 

 ' 2 



tang-^E'-<>"^<-E^ • V^' 0,1 

 = 2 p, 



Ces préliminaires posés, il y a deux cas à distinguer pour obtenir la 

 valeur asymptotique de l'intégrale J. 



1° Supposons d'abord la racine Z comprise entre la circonférence | s | ^ i 

 et la courbe ?N , . Considérons, d'autre part, la nappe A des courbes f]"égal 

 module de ^(:-) qui passe parle point dont l'affixe est Z. Traçons à 1 inté- 

 rieur de la nappe N une courbe fermée voisine C,, tangente à cette nappe 



