SÉANCE DU t/( décembre 1908. 1255 



au point Z et en ce point seulement. Dans ces conditions, le long- de la 

 courbe C, , | 9(=) | prend sa plus grande valeur pour s = Z. 



D'autre part, A reprenant sa valeur, lorsque la variable z revient au 

 point de départ, après avoir décrit en entier le contour | c | ^ i , la courbe C, 

 devient un chemin d'intégration équivalent à ce contour, si on la déforme 

 infiniment peu, dans le voisinage du point s =; Z, vers la région du plan 

 dans laquelle | ç>(s) | > | ^(Z) |. Or, en se reportant à mon Mémoire Sur 

 /'approximation des/onctions de grands nombres (p. 265), on reconnaît que 

 c'est précisément la condition pour que la considération du point z -^Z 

 conduise à la valeur asymptotique de l'intégrale J. On arrive, tous calculs 

 faits, à l'expression 



— /z — lantr^ W Z — col ^ 



« V '« y/siii'i (Z — ;,) (Z ~ ;,)(Z — =3) ' 



:;,, Co, ^3 désignant, en plus de Z, les trois autres racines de A", et £ une 



quantité de l'ordre de grandeur de — • 



Le sens des radicaux imaginaires, figurant dans l'expi-ession de J, est 

 complètement défini par la condition (ju'ils doivent être pris chacun avec 



l'argument qui diffère le moins de -• 



■2° Lorsque la racine Z est intérieure à la courbe N,, ce qui doit être 

 tout à fait exceptionnel, en admettant même que ce soit possible, on ne peut 

 plus raisonner comme nous venons de le faire, parce que la courbe d'égal 

 module de 9(z), rencontrant le point dont Z est l'affixe, passe alors par 

 l'origine. Mais, dans ce cas, la circonférence décrite, de l'origine comme 



centre, avec tang- pour rayon, peut au besoin être dilatée, à l'intérieur de 



la courbe N,, de manière à renfermer la racine Z. 



Le contour ainsi obtenu non seulement est équivalent, pour l'intégrale J, 

 à la circonférence | ; | = i , mais, de plus, la plus grande valeur de | cp(-) ], 



le long de ce chemin, correspond à la valeur : = tang- qui est racine 



de o'( z). ()n se trouve dans un cas où la considération du point z = tang- 



conduit à la valeur asymptotique de J [ voir pages 252 et suivantes de mon 

 Mémoire (' )]■ 



(') Voir aussi Darboux, Mémoire sur l'approj:iinalion des fondions de très grands 

 nombres {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1878). 



