SÉANCE DU l4 DÉCEMBRE 1908. I267 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les lignes géodésicjues. 

 Note de M. Jules Drach. 



Après avoir exposé les recherches systématiques (Bour, O. Bonnet, 

 M. Maurice Levy) sur les intégrales algébriques en (p, q) de l'équation des 

 géodésiques 



( I ) F = cp'- + a fpci -¥■ .^rf- —1 = 0, 



M. Darhoux, dans ses Leçons sur la théorie des surfaces (3® Partie, 

 n°* 6 19-62 1 ) présente d'une manière synthétique des résultats qu'il a obtenus 

 en cherchant pour l'équation (i) des intégrales de forme particulière. En 

 suivant la voie ouverte par l'éminent géomètre, je suis parvenu à cpielqucs 

 résultats nouveaux, quifont l'objet d'un Mémoire plus étendu, public ailleurs 

 et que je demande la permission de résumer ici. 



I. Je me suis proposé d'abord la recherche de tous les cas où l'équalio/i (i ) 



admet une intégrale 



(Si( p, q) = consl. 



ne dépendant que des arguments p et q. 



On trouve sans difficulté que la fonction V des variables u et v doit satis- 

 faire identiquement à une relation 



dont la discussion conduit aux conclusions générales suivantes : 



1" Si le niiotienl — :-— est du second des;i"é en p, (7, on apour e, /". ^ les expressions 

 On '/r 



rt» 4- /m' + (• . c/ '//-(- Z>r -h f' rt" « + //' r -4- '•" 



e = ^ ' /=- 



I. 



avec 



La fonction 9 est la constante d'intésration pour l'équation 



dp ap- + a a' pq -h a" q- — a" 



iij bq^ -)- •-'. '''/"/ -+- l>" q' — ''" 



c/r, 



M. Darboux a signalé le cas pai ticulier où X est constaiU; il existe alors des surfaces 

 spirales possédant Télémenl linéaire correspondant. Celle dernière conclusion s'étend 

 ici au cas où c rzi c = c" z= c" ^=z o. 



C. H., 1908, r Semestre. (T. CXLVII, N' 24.) '*'-! 



