1268 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



,. , . ,)V ÔV , . , . 



1° bi le quotient —: — est du premier degré en p,q, on trouve, en posant y.r=ii— c. 



les expressions 



, (■ ac 

 e = rfo — , 



nul donnent, pour le (luolient précédent, 



P + '-'l 

 L'équation en p, q est du second degré quand on la met sous forme rationnelle ; 



( ^P -^ 'l'^lY {df, p- + 2 c/| />(/ -I- d, (f-^\)-\- c<j ( p -t- b(j ) dp (dp -\- d(/) — dp - = o. 



3" Si le qnolient ^-— ; — — est indépendanl de /; et 7, e. f, »■ sont des l'onctiniis niiel- 

 conques d'un argument À (|ui satisfait à 



du ~ Oi' 



L'équation (i) donne pour }. une fonction de p et r/ seuls, et o est déterminé par 



d<i> O'-o , 

 dp àq 



Ce cas est loin d'être aussi général qu'il le paraît. L'élément linéaire correspondant 

 peut être ramené à la forme 



ds'-—2f(l)dxd^, 

 1111 l'on a 



^ -i- al -i- l^{7■) ~ Oj 



lorme considérée par AL Darboux (loc. cit.). qui a fait voir que la détermination des 

 géodésiques exige l'intégration de l'équation 



d.rV- 



(a) --'=■■/'"■ 



îl. Dans ce dei-nier cas on ne connaissait pas, en général, de surfaces 

 s(k]anl rélément linéaire 



(a) ds'-—y/.'-io)dydS>. 



lotsqu on a 



|3 + 3(9 4- .U ( 9 ) r=: o, 



