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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le nombre des intégrales doubles de seconde 

 espèce de certaines surfaces algébriques. Note de M. Jj. Remy, présentée 

 par M. Emile Picard. 



!. Dans une Note précédente (') j'ai déterminé la valeur de l'invariant 

 relatif p pour les surfaces qui correspondent point par couple à une courbe 

 algébrique, supposée non singulière. L'application de la formule de M. Pi- 

 card relative à p„ permet d'en déduire le nombre p,, des intégrales doubles 

 de seconde espèce des surfaces algébriques de cette classe ; voici le résultat : 



Les surfaces algébriques dont les points admettent une correspondance uni- 

 voque avec les couples de points d'une courbe de genre rar non singulière pos- 

 sèdent exactement 



2ro- — m — I, 



intégrales doubles distinctes de seconde espèce. 



Le théorème précédent suppose que la courbe considérée n'est pas une 

 courbe singulière : c'est là une hypothèse essentielle, ainsi qu'on peut s'en 

 rendre compte par l'exemple suivant, relatif aux courbes de genre deux. 



2. Envisageons une surface de Kummer Iv liée à une courbe de çenre 

 deux singulière, c'est-à-dire telle qu'il existe entre les périodes g, h, g' des 

 intégrales hyperelliptiques correspondantes une relation à coefficients entiers 

 qui peut être ramenée, par une transformation du premier ordre, à la forme 



Dans cette hypothèse, il existe, d'après les recherches de M. Humbert 

 (Journ. de Math., 1H99), des fonctions intermédiaires singulières Oi/t(u, p), 

 distinctes des fonctions thêta et vérifiant des équations fonctionnelles du 



type 



9( » -f- I. (•) = o((/, i' -h 1 ) =: a{ti, (>), 



'^{u -\- g, (■ -+- h) =0(11, i') e--ii-'"+'iy'')+^^ 

 o{ii -+- h, V -i- A'') = 9{«, ,,)e2-^'i-''="'-(/+*?)''i+-''^ 



(') Depuis la publication de ma dernière i\ole, j'ai eu connaissance que M. Severi 

 avait étudié antérieurement les surfaces qui correspondent point par couple à une 

 courbe algébrique {Mémoires de l' Académie de Turin, t. LIV, igoS); toutefois ma 

 méthode est distincte du point de vue géométrique auquel s'est placé M. Severi et je 

 ne crois pas d'ailleurs que ses recherches aient porté sur la valeur de l'invariant po, ni 

 sur le rôle joué par les fonctions intermédiaires singulières. Je dois aussi citer une 

 Note de M. de Franchis {CircoLo mat. di Palermo, t. XVIII, 1908). 



