SÉANCE DU l4 DÉCEMBRE 1908. 1271 



/el k étant deux nombres entiers assujettis seulement à certaines inégalités 

 relatives à la convergence des développements en série. Ces fonctions o^^. 

 sont étroitement liées aux courbes algébriques de la surface K, puisque 

 toute courbe algébrique de cette surface s'obtient en égalant à zéro une 

 fonction intermédiaire, paire ou impaire. 



Ceci posé, considérons deux courbes C,, C, de la surface, ayant respecti- 

 vement pour équations 



?/,/,("> '') = 0' 

 9;,/.,(", ^') — o, 



et choisies de telle sorte que le déterminant formé avec les indices /,, X-, 

 et /,, A'j soit diiiérent de zéro ; soit d'autre part une courbe algébrique quel- 

 conque C de la surface, définie par l'équation 



On peut déterminer trois entiers positifs ou négatifs «,, n. et n (ce der- 

 nier étant différent de zéro), tels que . 



«1 /, 4- II, /o -+- ni ^= o, 

 «1 /f 1 -I- «2 A.> + /(A = o ; 

 dès lors le produit 



est une fonction quadruplement périodique de m et t^ et, par conséquent, 

 une fonction rationnelle des coordonnées d'un point de la surface, et l'ex- 

 pression LogP est une intégrale de différentielle totale de troisièine espèce 

 de la surface qui ne possède pas d'autres courbes logarithmiques que les 

 courbes C, C,, C,. En d'autres termes, l'invariant p de M. Picard est au 

 plus égal à deux. 



On peut démontrer de la manière suivante que le nombre p est effective- 

 ment égal à deux. La surface de Kummer étant une surface régulière, il en 

 résulte, en vertu d'un théorème général de M. Severi, que toutes ses inté- 

 grales de différentielles totales de troisième espèce sont algébrico-logarith- 

 miques, et cette propriété, ainsi que l'a montré M. Picard {Fonctions algé- 

 briques, t. II, p. 2/iGj, entrahie la conséquence suivante : 



Étant données (p-l-i) courbes algébriques quelconques de la surface, on 

 peut former une fonction rationnelle qui admette seulement ces{çi -\-i) courbes 

 comme lignes de zéros ou d'infinis. 



Si donc le nombre p était égal à l'unité pour la surface considérée K, il 



