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illusoires, puisque certains éléments de nos déterminants sont infinis. On 

 sait comment Fredholm s'est tiré de cette difficulté. Soient f„, f^, ... ce 

 que l'on appelle les noyaux réitérés; si /(x,y) devient infini comme 

 (ic — y)"" et que l'exposant a soit suffisamment petit, il arrivera que tous 

 ces noyaux réitérés seront finis à partir de l'un d'entre eux. Supposons 

 donc que /"„ soit fini, ainsi que tous les noyaux réitérés d'indice plus grand. 

 Fredholm ramène l'équation (i) à une autre équation de même forme, mais 

 où X est remplacé par — (— 'k)" et / par /"„. 



Dans l'équation (2), la fonction méromorphe en À 



«(1)=— =ii 



se trouve remplacée par une autre fonction méromoi'phe en A, «I>„(X), dont 



le dénominateur est 



D„=D_,_),,„^„. 



Si /est fini,/,, l'est également, et les deux formules sont applicables; les 

 deux fonctions méromorphes <I» et $„ sont donc égales, ce qui veut dire que 

 l'on peut revenir de la nouvelle formule à l'ancienne en divisant le numéra- 

 teur et le dénominateur par un même facteur commun. Il est aisé en effet 



de vérifier que, si l'on pose 



Dv = F(>,) 



et si a est une racine n""^'^ de l'unité, on aura 



D„=F{l)F{xl)F{ai'l)... F(a"'l). 



Qu'arrive-t-il maintenant quand / devient infini et que, par exemple, 

 /o est fini? Ici encore, nous devons prévoir que le numérateur et le dénomi- 

 nateur de <I»2 auront un facteur commun, et que T).y=^ï)_x,,^, qui est une 

 fonction entière de A-, sera le produit de deux fonctions entières G(X) et 

 G(— X), le second facteur G(— X) divisant également le numérateur. 



C'est en effet ce qui arrive; on peut alors se proposer, puisque la fonc- 

 tion mémomorphe *I> se présente sous une forme illusoire et que la fonction 

 méromorphe $2 n'est pas irréductible, de former une fonction méromorphe 

 irréductible égale à $0. Dans ce cas, la solution se présente sous une forme 

 très simple. 



Nous aurons 



JN 



(3) «f^^K' 



