SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE 1908. 1869 



N et D étant deux fonctions entières de X qui se formeront de la mênie 

 manière que D^/f j et D^^; la seule différence, c'est que les déterminants 



X^j X^^ • • • T '^n \ p ( -^ t ^' \i ^l.t ■ ■ • 7 -^ n 



\,>'i ■^'l' '^21 • • • 1 ■*'« / 



/ ^I, .T2, . • . , X,f \ / ^, a'i, X^^ ■ - • 7 -^n \ 

 \ X f. Xn. . • • s Xf, / \ >', Xt , Xo X ,t / 



seront remplacés par d'autres, formés tout à fait de la même manière, 

 sauf que les éléments /"(x,, x^) qui deviennent infinis seront remplacés par 

 zéro. 



Les considérations suivantes permettront de mieux comprendre la signi- 

 fication de ce résultat. Supposons que la fonction f{x, y) non seulement 

 soit finie, mais admette des dérivées premières finies. Dans ce cas, d'après 

 un résultat de M. Fredholm sur la loi de décroissance des coefficients, la 

 fonction entière D^y sera de genre zéro. Supposons, au contraire, que 

 fi^x, y) devienne infinie pour x ^y comme (x — JK)"" et que a. soit plus 



petit que j- Supposons même, pour éviter toute complication dans l'énoncé, 



que l'on ait 



la fonction ■]/ restant holomorphe dans le domaine considéré. On aura alors 



\A{^',y)-A{x,y)\<k\x'~x\'-'^, 



et, d'après le théorème de M. Fredholm, le coefficient de X'" dans le déve- 

 loppement de D_i,^ décroîtra comme (n") -; de sorte que, si a<^ v. 



cette fonction D^),^^ sera une fonction entière de genre zéro de X-. Nous 

 savons qu'une fonction entière de genre zéro de X^ peut toujours être 

 regardée comme le produit de deux fonctions entières de X, 



G(X)G(-X), 



qui sont de genre i. Nous devons donc nous attendre à ce qu'en appe- 

 lant D(X) le dénominateur de la formule (3), on ait 



D_xv=D(X)D(-X), 



de sorte que 



G{l) = e''~'-D(l), 



k étant une constante quelconque. C'est en effet ce qui arrive. Ce qui carac- 

 térise la fonction D (X) et la distingue de toutes les autres fonctions Ci(X), 



