SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE 1908. l385 



GÉOMÉTRIE. — Sur la cvclide de Lie. 

 Note de M. A. Demodun. 



Conservant toutes les notations de notre Note du 3o novembre 1908, 

 nous allons étudier l'enveloppe des cyclides de Lie relatives aux différents 

 points d'une surface. 



Lorsque u varie seul, la caractéristique de (A) se conqjosc du cercle {il') 

 compté deoK fois et de deux lignes de courbure (Qf) et (û^). Les centres C, 

 et C, des sphères (Se,) et (Se,) circonserites à (A) suivant (O,) et (O2) «ont 

 situés sur (F) (*). 



Lorsque v varie seul, la caractéristique de (A) se compose du cercle (ti) 

 compté deux fois et de deux lignes de courbure (i2', ) et (ill). Les centres C, 

 etc., des sphères (S^;) et (S,.;) circonscrites à (A) suivant (O', ) et (i2, ) sont 

 situés sur (F'). 



Soient M, et Mo les points d'intersection de (û,) avec (il,) et (ii.), 

 et M;, et M, les points d'intersection de (il.) avec (i2.,) et (i2, ). Il est clair 

 que (A) touche son enveloppe aux points M,, Ma, M3, M^. Soient (M,\ 

 (M2), (M.,), (M^) les surfaces décrites respectivement par ces points. Les 

 couples (M,), (Mj); (M,), (M,,); (M^), (M,); (M/), (M,) constituent les 

 enveloppes des sphères (S^j, (Se;), (Sj,,), (S,:;). 



Lorsque u varie seul, la conique (F) admet une enveloppe qu elle touche aux 

 points C, et C^. En effet, si u varie seul, une partie de la caractéristique 

 de (A) est le cercle (Q); or, la sphère (S^ ) est circonscrite à (A) sui- 

 vant (i2,); donc la caractéristique de (S( ) est le cercle (iî,); par suite, la 

 tangente à la courbe (C,^) au point C, coïncide avec l'axe du cône de révo- 

 lution du sommet C, qui passe par (O,); or, ce cône renferme (F'); donc 

 son axe est la tangente en C, à (F). Dès lors, (F) touche (C,^) en C,. On 

 démontrera de même que (F) touche (C,,^) en C^. On déduit facilement de 

 là que C, Cj est la caractéristique du plan co lorsque u varie seul. 



La droite CG engendre une congruence ; ses points focaux sont le point C 

 et le centre O de la sphère osculatriee de (M,,) en M. Le plan w est le j)lan 

 tangent en O à la surface (O), lieu du point O. La caractéristique de ce plan 

 lorsque u varie seul est, dès lors, la tangente à la courbe (0„). 



(') Ces propriétés, de rnêtiie (|Lie dautres qui seroiil indiquées plus bas, se ilé- 

 duiseiit, par l'application de la transformation de Lie, de résultats concernant la ((ua- 

 drique de Lie que nous avons lait connaître dans notre Note du i4 septembre 1908. 



