iSqo académie des sciences. 



Cela nous montre que l'influence des 'arguments des coefficients sur 

 l'allure de la fonction sur son cercle de convergence est beaucoup plus pro- 

 fonde qu'on n'aurait pu le croire. Un problème nouveau et général se pose 

 donc : Déterminer les homes et les caractères de l'influence des arguments sur 

 les propriétés générales de la fonction. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales multiformes des équations 

 différentielles du premier ordre. Note de INI. Pierre Boutroux, présentée 

 par M. P. Painlevé. 



Les intégrales des équations différentielles sont (à part quelques excep- 

 tions) des fonctions multiformes possédant une infinité de points critiques. 

 C'est pourquoi, avant même de chercher une expression analytique de ces 

 fonctions, il importe de nous représenter, sous une forme aussi claire que 

 possible, le mécanisme suivant lequel s'échangent les diverses branches d'une 

 même intégrale. Je voudrais indiquer ici la méthode que j'ai suivie pour 

 saisir ce mécanisme sur le vif, méthode qui semble atteindre son but dans 

 les cas particuliers que j'ai étudiés jusqu'à présent. 



Soit, par exemple, considérée l'équation 



(0 



-L=zK, + A, j H- A,72+ K^y\ 



dx 



où les A sont des polynômes en x. L'intégrale générale de cette équation est 

 une certaine fonction de x et d'une constante arbitraire y =f(x^ C). Consi- 

 dérons une intégrale particulière Y correspondant à la valeur C de C, et 

 envisageons, au voisinage d'une valeur x un ensemble de déterminations 

 différentes 



Y„=/„(x,G), Y,=/,(.r,G), 



de l'intégrale Y. Il existe des valeurs C,, Co de la constante C telles que 

 l'on ait 



/,(^,c)^/„(x,c;), /,(^,c)=/o(.r, c;), 



On peut donc dire que l'ensemble des déterminations de Y en un point 

 fixe X est obtenu en opérant sur C, dans la formule 



Y=/„(x,c), 



un certain ensemble de substitutions (S). Or il y a une inlinité de manières 



