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ysauf pour un ensemble de valeurs rationnelles exceptionnelles (') des A'|; 

 toutes les suhsiilulions (S) correspondant aux permutations opérées au voisi- 

 nage de y. se ramènent aux deux substitutions fondamentales 



A l'infini, les intégrales de ( i) peuvent présenter un point transcendant, 

 qui ne soit pas point de Briot etlîourpict. J'ai déterminé, dans ce cas encore, 

 ie mécanisme des permutations opérées autour du point transcendant, nié- 

 cauisme auquel correspondent certaines substitutions de nouveaux para- 

 mètres d'intégration. Mais je me suis surtout ellbrcé d'approfondir l'étude 

 des cas où le point .r = ce est un point de Briot et Bouquet, près duquel les 

 branches d'intégrale ont une croissance rationnelle (- ). Plus particulière- 

 Hicnl, j'ai considéré léquatiou 



(a) yr=;-', z -j^ -h as — '2(.x — c.){x — {i)(x — o) = o, 



qui est Tune des plus simples parmi les équations (i) non intégrables. 



L'étude des singularités transcendantes de (2) conduit à considérer huit 

 équations de Briot et Bouquet, (deux par point transcendant) auxquelles 

 correspondent iuiit exposants A,, >u, . . ., Aj', a'J (pour x — oc, A, = A^, = 2) 

 et huit paramètres C,, C., ..., C'", C'J (les deux premiers pour Tinlini). 

 Pour chaque paramètre, nous avons un groupe de substitutions très simple. 

 Tout revient doue à chercher comment les huit paramètres sont fonctions les 

 uns des autres. Si nous savions déterminer les singularités d'une fonction 

 telle que C,(C', ), si nous démontrions, par exemple, que ces singularités 

 sont en nombre fini, nous lèverions la plus grosse des difficultés qui s'op- 

 posent à l'étude des équations (2). 



Ce qui rend fort compliquée la théorie des équations différentielles, c'est 

 l'existence des points critiques algébriques, qui semblent n'être distribués 

 suivant aucune loi définissable. C'est à cause de l'eiubarras où nous mettent 

 ces points que M. Painlevé s'est attaché à déterminer les équations (jui en 

 sont dépourvues. Mais Ton peut se demander s'il ne suffirait pas de savoir 

 exactement ce qui se passe au voisinage des points transcendants pour en 

 déduire ce qui se passe dans tout le plan. L'étude des substitutions ( S) serait 



(') Les cas exceplioniieU peuvent, eux aussi, être cotnplèlemenl éluiliés. 

 (-) Cf. mes Leçons sur les fondions dé finies par les équations clifférentieltes du 

 premier ordre, Chap. II. 



