SÉANCE DU 21 DÉCEMBRE igo8. ï^g^ 



Si Ton pose 



Vj;=: (A sjnnit + B coi nit)i/, 



u étant une fonction de x^ on voit aisément qu'on satisfait aux équations ( i ). 

 (2), {'^) en prenant 



M 1= sin ( 2 m \J'h.y.r), 



I,. ^ \/ ^{^ cosml — B sin nit) 005(2 w \/'t.y x) 



et en déterminant m par la relation 



colang(2m sfkyd) — h. 2 m \f77^d^^ o {h x lydr^ C). 



Désignons par Trv„ la n'""" des racines positives, rangées par grandeur 

 croissante, de l'équation : cotang(7rv) — /iv = o, et soient 



"■ = > A« ^111 — ■j=^, + B„ cos — -^ sin —-J-, 

 ■^ \ l'^Jt.yd isji.yd} " 



^-, = N(A,,cos-^-B„sw,-^^ 



-v„ .1- 



cos ; 



on peut déterminer les A et B de façon que la solution cherchée soit 



V = ..', I =j. 



En ellét, le calcul des résidus (') permet de montrer que, pour / = 

 et o£a;5f/, on aura w = t'(^) ely' = i{x), si l'on prend 



A„ = — 7 — — / sin(27îv„ 



47iv„ + sin(27:v,,) J , 



<J.)f{^)d^, 



'^"^ 4.- 



, 2 



: / cos(2 7rv„a) /■(u) (/a 



v„-+-sin(27:v„)J_, "i-U\i-) . 



|^/(^)=:.(.r)+y/^/(^)J. 



Toutefois, cette conclusion suppose que les séries des dérivées des termes 

 de w et y par rapport à / et à a? sont uniformément convergentes, quel que 

 soit -.. J'établis qu'il en est ainsi en moulrant que la série dont le terme 



(') \i. FlCARD, Traité d'Analyse, l. II, 2" édition, p. 190. 



