( i^0) 



S et t étant définis par les relations y = sx^z = lx. On a 

 dy = sdx -+- Xf/s, dz = idx -f- xdt. 



En substituant ces valeurs de dy, dz, dans l'équation don- 

 née, on la met aisément sous la forme suivante : 



, !dx i'ds -^xdt ^ 



(Mx -f- Nv H- Pz — -+- — — = 0. 



On déduit immédiatement de là le théorème connu : 



I. Toute équation différenlielle homogène, du premier 

 degré et du premier ordre : Mdx -h iXdy H- Pdz = 0, 

 intégrable et telle que Von n'ait pas identiquement 

 Mx -+- Ny + Pz = 0, a pour facteur d'intégrabilité l : 

 (Mx + Ny + Pz). L'intégrale générale est de la forme 



x = CF"^ 



et représente des surfaces semblables. Les solutions sin- 

 gulières, quand elles existent, sont données par Mx-i- Ny 

 -h P2 = 0; c'est-à-dire qu'elles sont réductibles à 



X \XJ 



et représentent des surfaces coniques dont le sommet est 

 à l'origine. 



Dans le cas où Mx h- % -h Pz =^ 0, on a pareillement 

 o + s^ -h ^%==0; l'équation transformée est simplement 



