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X i^.^cls -f- %dt) = 0, ce qui conduit à l'intégrale 



xJ 



qui représente une infinité de surfaces coniques. On peut 

 donc énoncer le théorème suivant : 



ïî. Toute équation différentielle homogène , du premier 

 degré et du premier ordre, Mdx -4- Ndy -h Pdz -= 0, inté- 

 grable et telle que Mx H- Ny -h Pz = 0, a pour intégrale 

 générale une expression homogène de degré zéro égalée à 

 une constante arbitraire, autrement dit une équation ho- 

 mogè)ie. 



Les équations à plus de trois variables jouissent évi- 

 demment de propriétés analogues. 



2. Réciproque du premier théorème. 111. Toute équa- 

 tion Mdx -h jNdy -h Pdz = 0, qui a pour facteur cVinté- 

 grabilité 1 : (Mx -h Ny -h Pz) est homogène ou réductible 

 à la forme homogène. Ce théorème est connu, dans le cas 

 de deux variables. Voici une démonstration pour le cas 

 de trois variables qui s'étend sans peine au cas général. 

 Posons U = Mx H- Nv + Pz. On a, par hypothèse f ) : 



(*) ^'ous employons ici, comme dans notre Théorie des équations aux 

 dérivées partielles du premier ordre, les notations Irès-expressives dont 

 Laplace se sert dans sa Mécanique céleste, pour désigner les dérivées 

 d'une fonction par rapport à une lettre. 



