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 En éliminant M entre l'équation et la condition donnée, 

 il vient 



N {xdy — ydz) -+- P {xdz — zdx) = 0. 



Pour démontrer le théorème, il suffit de prouver que le 

 rapport P : N est une fonction homogène, de degré 0, 

 en X, y, z. 



La condition d'intégrabililé de l'équation donnée, après 

 multiplication par oc, peut s'écrire 



Mx{ U- Px Nx — U-x N- — P-_ =0. 



âyl \ §y Szl \ rSx rJx j 



Mais on a 



Mx = — (Ny -+- Pz), 



§y \Sy ^ ây I 



m /m dT \ 



^z \âz^ âz I 



Substituons ces valeurs dans la condition d'intégrabilité; 

 il vient, en supprimant les termes h- NP, — NP : 





âN (?P 



X N — 

 \ âx 





c'est-à-dire, après quelques réductions : 



/ r;p m\ fâP ^m\ 1^6^? m\ 



X N- P— - U-y N— — P— 4-jr. N p__=o. 



V rh' âxJ ^\ au ây \ ^z âz 



