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auxquelles on satisfait aussi, en remplaçant, dans les 

 équations mêmes, y' et z\ par des constantes C et G. 



On aura, comme l'on sait, C =cp (c, ^), G = v/; (c, .^). 

 Par conséquent, les fonctions ii et v satisfont aux équa- 

 tions simultanées linéaires aux dérivées partielles : 



cJa Su ^ rhl , 



âv âv , , ^v ^ ^ ^ 

 rJX ûy oz 



Ces équations auxiliaires ont pour intégrales (voir notre 

 Théorie des équations aux dérivées pariielles du premier 

 ordre, § 7, n'' 29-51, pp. 58-61) : 



y = Xf{u, u) -+- F [f{u, v), ■i(!f, v)], 

 z =x^{u, v) -f- fUi^h v)^ H"' ^')]- 



Donc, à cause des relations ii = c, v = g, C = .9 (c, g), 



G=^(c,(/), 



y = Cx-^F{C, G), z==Gx -^ f{C, G). 



Ces dernières relations sont les intégrales des équations 

 simultanées analogues à l'équation de Clairaut : 



ij=xy -^F [y', z), z = xz -^ /"(/, z'), 



ce qui démontre le théorème. 



o. Théorème III. L'équation aux dérivées partielles 



dz dz . / dz dz 



' dxi " rfx„ \(/xi' *'*' dx„ 



analogue à l'équation de Clairaut, est la seule dont Vinté- 



