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 Par conséquent, 



dz = Aidx -+-•••-+- A„f/x„, 



et la solution (5) est équivalente à 



z = AiJTi -+- • . • A,x„ -+- /"(Al, . . . , AJ. 



L'équation aux dérivées partielles considérée est donc 

 dz dz (dz dz\ 



Z = Xi- 1- • • • -H X, i- / -y— , . . . , ——I ' 



(/x, dx, \dxi dxj 



ce qu'il fallait démontrer. 



On établirait de même le théorème analogue sur les 

 équations simultanées aux dérivées partielles, semblables 

 à l'équation de Clairaut. 



4. Théorème îV. Toute équation différentielle du pre- 

 mier ordre dont on connaît l'intégrale générale, peut se 

 ramener à une équation de Clairaut. Nous montrerons 

 d'abord, sur des exemples, la vérité de ce théorème. 



I. L'équation différentielle des lignes de courbure des 

 surfaces du second degré 



axyy'^ -f- i/'(x^ — ai/ -+- 6) — xt/ = 



a pour intégrale générale : 

 f = Cx' 



ctC -+- i 



Posons Y = y-, X =x'^, cette intégrale devient : 



6C 

 Y = CX -+^ , 



«C -f- 1 



relation qui correspond à l'équation de Clairaut : 



bV r/Y 



Y^^XY H--— -, Y =—. 



«Y' -+- 1 f/X 



