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que soient les valeurs de x, ?/, 2:, ruiie des équations (2) 

 jointe aux deux équations (5, 4) (*). 



Seconde application. — Il est évident que la courbe 

 gauche, lieu des points de contact des tangentes issues du 

 point P {xq, \jq^ zq) à la surface représentée par les équa- 

 tions (A) est définie par ces équations jointes à l'équation 



flXj -+- 6j/o + czo — R^ = 0; . . . . (6) 



en sorte que le degré cherché est égal au nombre des solu- 

 tions en (a, 6, c) communes aux deux équations (5, 6) 

 jointes à l'équation (5); ce qui conduit au nombre 



N=n(n — 1). 



Remarque. — La classe d'une section plane d'une sur- 

 face étant égale à Tordre du cône circonscrit proprement 

 dit, on voit que la classe d'une section plane de la surface 

 plane (A) est n [n — \). 



Conséquences. • — Ayant trouvé, pour une section plane 

 de la surface (A), les trois singularités suivantes : 



Ordre . . . . . . . n[n — 1)^, 



Points de rebroussemcnt . in [n — 1) [n — 2), 

 Classe n[n — \), 



il en résulte, pour les autres singularités, les nombres 

 connus : 



Tangentes d'inflexion . . n [n — \){n — 2), 



Points doubles .... ln{n—-\)[n—^)[n^—n^-\-n—\^\ 



Tangentes doubles . . . in[n — \)[n — 2) (w — 5). 



(*) Nous avons déjà Irailé celte question par la géométrie pure. Voir 

 les Bulletins de l'Académie, juillet 1875; nous avons prouvé qu'un point 

 multiple d'ordre p diminue la courbe de rebroussemeut de p{p — 1) 

 (4p — 5) unités. 



