SÉANCE DU 6 JANVIER 1902. 29 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certains systèmes d' équations linéaires 

 aux différentielles totales. Note de M. Emile Cottox. 



« Les systèmes d'équations linéaires aux différentielles totnles que 

 j'étudie ici sont une généralisation des systèmes de Lie (formés d'équations 

 différentielles ordinaires) étudiés par M. Lie(') et par M. Vessiot {^). 



» L Dans les équations finies d'un groupe 



(i) Xi=fi{x% ...,xl;a„ a., ,«,) (/-i,2 n), 



remplaçons les paramètres a,, . . ., «^ P^"" ^ fonctions ?,(«,, . . ., u^,), . . ., 

 o^(u,, . . ., Up) (\ep nouvelles v.iriahles w,, . . ., u^. Les n fondions x^ des 

 variables u ainsi obtenues constituent, quelles que soient les constantes a;", 

 lin système de solutions d'un système complètement intégrable de la forme 



r 



(2) dx, = ^^-^j.(^) 6 ^/") (i^i,-2, ...,n). 



» Dans ces équations, les ^ sont les coefficients des dérivées de / dans 

 les transformations infinitésimales 



(3) x./=i^.'(-)|; 



1=1 



du groupe (i). les Ij(da) désignent /-expressions de Pfaff construites avec 

 les variables u et leurs différentielles. 



)) Donnons-nous maintenant les transformations infinitésimales (3) d'un 

 certain groupe, et considérons a priori un système de la forme (2). Pour 

 qu'il soit complètement intégrable, il faut et il suffit que les Ij(du) et leurs 

 covariants bilinéaires Ij ( du, §a) satisfassent aux identités 



r 



(4) lj(du,hi)=^ 6v>,[/,(r/a)4(Sz/)-/,(î5«)4(rf«)]- 



où les c désignent les constantes de structvire du groupe (3). 



(') LiE-ScHEFFERS, Vorlesungen liber continuierliclie Gnippeit, p. 791. 



(-) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, l. VIII, H; 1894. — Ce Mé- 

 moire m'a servi de guide dans la plupart des recherches dont les résultats sont résu- 

 més ici. 



