3o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Nous appellerons sysiè/nes (L) les sysLèmes complètement intégrables 

 de la forme (2). 



» II. Les systèmes (L) admettent un syslème fondamental de solutions. — 

 Voici ce que nous entendons par là : Soient (2) les équations d'un sys- 

 lème (L). Il existe un entier m el n fonctions J,- des (m -i- i)n variables 

 X,, ..., x„; x\, . . ., ;r„; ... ; x"\ . . ., x'f^' possédant la propriété suivante. 

 Si l'on remplace les jnn dernières variables x\, ...,cc"^' par m systèmes 

 déterminés, d'ailleurs quelconques, de solutions des équations (2), on 

 aura le système le plus général de solutions des équations (2) en résolvant 

 en Xf, . . ., :r„ les équations 



J,(^,, . . ., :r„; œ\, . . ., x],- . . .; <\ . . ., <) = C,, 



où les C, désignent des constantes arbitraires. 



» Réciproquement, si un système complètement intégrable d'équations 

 linéaires aux différentielles totales admet un système fondamental de solu- 

 tions, il est de la forme (2). La propriété précédente est donc une propriété 

 caractéristique des systèmes (L). 



)) HT. La forme même des conditions d'intégrabilité (4) montre que si 

 l'on obtient un système (L) en adjoignant ;• expressions de Pf'aff lj{du) 

 aux transformations infinitésimales Xy/ d'un certain groupe, on aura 

 encore un système (L) en adjoignant les mêmes expressions de Pfaff aux 

 transformations infinitésimales d'un groupe Yjf holoédriquement iso- 

 morphe au précédent. (Les deux groupes X^/ et Yy/ sont supposés rap- 

 portés isomorphiquemenl l'un à l'autre.) 



» Cette remarque permet d'établir, pour les systèmes (L), des théorèmes 

 analogues à ceux que M. Vessiot a donnés, pour les systèmes de Lie, dans les 

 Chapitres I et II du Mémoire cité plus haut. Je me contente d'énoncer ici 

 les deux suivants, relatifs au cas où les équations finies du groupe (3) 

 sont connues. 



» L'intégration de (2) et celle du système obtenu en adjoignant les lj{du) 

 aux transformations infinitésimales du groupe des paramètres du groupe (3) 

 sont deux problèmes équivalents. 



» L'intégration de (2) revient à celle du système linéaire obtenu en adjoi- 

 gnant aux Ij(du) les transformations infinitésimales du groupe adjoint du 

 groupe (3), et, en outre, à des quadratures lorsque (3) admet des transfor- 

 mations infinitésimales distinguées. 



» IV. En résumé, si l'on met à part les conditions d'intégrabilité dont 

 on n a pas à s'occuper à propos des systèmes de Lie, il y a une analogie 



