SÉANCE DU l3 JANVIER igol. 83 



d'abord que, si o n'est pas entier, les inégalilés 



rP(log''"/-)^-'<(logiVI(/-)</P(log<''V)''«*\ 

 entraînent 



(,) /i(log'"V.)-^.-<|«JP 



et, pour une infinité de valeurs 'de r, 



(o) |«„|P<n(log'''!/^)^.-^ 



» Ces résnllats ne sont pas nouveaux, comme le pense M. Lindelôf. I^e 

 premier résulte d'une démoastration donnée par M. Schou (Comptes rendus. 

 t. CXXV). Le second est une conséquence immédiate d'un théorème plus 

 précis que j'ai énoncé dans les Comptes rendus (4 février 1901). J'ai pu, 

 depuis, compléter encore mes recherches, et, pour me borner aux fonctions 

 à croissance régulière d'ordre p non entier, j'ai obtenu le résultat suivant : 



» n désignant le nombre des zéros de module inférieur à r, on a 



(3) M(r) = e'"' {h fini et positif). 



» 2. Mais j'ai pu également étudier, d'un point de vue général, le cas 

 où p est entier. Supposant, par exemple, p égal au genre p, j'ai constaté 

 qu'il fallait alors, le plus souvent, remplacer l'égalité (3) par 



(4) M(r)=e ^a1. 



)) Ce résultat m'avait permis, depuis quelque temps déjà, de définir 

 systématiquement des cas où \a. somme de deux fondions de genre p est de 

 genre p -\- 1. C'est de ce même fait que M. Lindelôf vient de donner un 

 exemple, en considérant des fonctions particulières, faciles à étudier direc- 

 tement. Mais M. Lindelôf ne devrait pas conclure de cet exemple que 

 la méthode générale est de nul usage, lorsque p est entier : c'est précisé- 

 ment la méthode générale qui m'avait permis de reconnaître le fait en 

 question, et m'avait permis en même temps d'en donner la raison et de ()ré- 

 voir les cas où il se produit. 



» Soit, en elfet, f(x) une fonction de genre et d'ordre p, telle que, 



n 



pour r assez grand, /i Iog« <^ er^, quelque petit que soit e. Si ^ -p a une 



1 

 valeur finie, M(r) restera, en vertu de (4). comparable à e'"''', ce qui est 

 une propriété caractéristique des fonctions de genre p. Au contraire, si la 



