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série 2_, ~ ^-^f semi-convergente et a pour somme o, on peut avoir 



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f{x) croît alors exactement comme une fonction de genre p — i ; elle peut 

 être, elle sera souvent la somme de deux fonctions de genre/) — i. J'ai pu, 

 en^ m'appuyant sur ces considérations et en taisant des hvpothèses peu 

 restrictives sur la répartition des zéros, former une infinité de couples de 

 fonctions de genre o, dont la somme est de genre i. 



)) Mais il importe de remarquer que, dans le cas en question, /(.r) 

 pourrait, à un certain point de vue, être considérée comme étant de genre 



p — I, puisque la série ^.~ converge (quoique non absolument). 



« 3. Le problème du genre écarté, l'étude de la croissance àe f[x) ne 

 pourra être vraiment utile que si l'on compare /(a:) aj^(x) et à ses dérivées 

 successives. J'ai obtenu, dans cet ordre d'iflées encore inexploré, un cer- 

 tain nombre de résultats : je vais énoncer les principaux : 



» Soit ^(^) = 77 — : ft soit <p(r) une ionclion à croissance régulière, 



telle que ? <^iy(?'). Pour r assez grand it existe, quel que soit r, des tmleurs 

 de telles que 



(5) ç(re'9)</;ii^ll^' (/^ positif fini). 



Il existe aussi une infinité de valeurs r, de r pour lesquelles on a, quel que 

 soit 6, la même inégalité (5). 



» La réciproque est immédiate : j'en déduis qu'on a, en une infinité de 

 points, 



f{x) = e'^'^K /'(x) = ;.//(/■) f^9'^', 



avec 



'^ I <^ , '-'•<! ^' ( 1 '^° '' (A e( //, nombres (inis), 



ce qui permettra, par exemple, d'évaluer l'ordre et le genre d'une fonction 

 entière satisfaisant à une équation différentielle donnée du premier ordre. 



» S'il existe un angle fini y, ayant pour sommet l'origine et ne con- 

 tenant aucun zéro, l'inégalité (5) sera vérifiée en tout point z de cet 

 angle. De plus, on aura le droit de la dériver autant de fois que l'on i^oudra. 



» S'il n'existe pas d'angle y, nous nous contenterons du résultat sui- 

 vant : soit une aire X proportionnelle à r"^ (par exemple, un carré ayant 

 ses côtés parallèles aux axes de coordonnées et égaux à nr); soit n le 



