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» Déterminons le nombre n par l'égalité 



» On a, sur une infinité de cercles de rayons indéfiniment croissants, 



(i) \g{^)\<^^"^^ (A positif fini). 



» La même inégalité est satisfaite, quel que soit \x\, en une infinité de points 

 de module \x\. 



» Parlant de l'égalité 



ê-(^)=2 



XP 



a';{x~ai) 



je démontre d'abord que, quel que soit x, la somme des termes pour les- 

 quels on a 



<^ ou 



>!-+-* 



(a étant un nombre positif), est inférieure à la limite (i). 



» Pour évaluer les autres termes, nous nous servirons d'une remarque 

 qui peut donner lieu à plusieurs applications. 



» Soient un segment de longueur /et v points/,, r, r, sur ce segment. 



Divisons-le en n segments égaux ^,, . . ., *„, n étant supérieur à /jv, et mar- 

 quons d'un signe convenu certains de ces segments, en procédant comme 

 il suit : Si Si contient q points /,-, nous marquerons 5,, puis q segments à 

 droite et q segments à gauche de 5^. Si l'un des segments ainsi marqués, Sj, 

 contient à son tour q' points r,, nous marquerons encore les q' segments 

 qui suivent ;?,+,, et les q' segments qui précèdent 5,_,. Nous aurons marqué 

 finalement 3v segments au plus. Si r est un point de l'un des segments 

 restants (/•;;.< r < r^+^ ), nous aurons 



et des inégalités analogues pour les points r, situés à gauche de /■. 



» On peut présenter autrement ce résultat en disant que, pour 

 une infinité de valeurs de \x\, la limite que l'on obtiendra pour la 



somme y T ^ r ne sera pas plus élevée que si la distribution des 



^ j|a-| — |a,-|| ^ ^ ^ 



points ]rt,| était uniforme. De là on déduit aisément la proposition 

 énoncée. 



