SÉANCE DU 20 JANVIER 1902. l55 



)) La même méthode conduit sans peine à d'autres résultats du même 

 genre. Considérons l'inégalité 



(.) k(^)l<'"^'°:'|^'^^ (A positif fini) 



et soit A une aire proportionnelle à \x\-. Nous pouvons démontrer que les 

 régions de l'aire A où l'inégalité (2) n'est pas satisfaite forment une aire 

 infiniment petite par rapport à l'aire totale A. 



» On peut établir également que l'on a, en même temps que l'inéga- 

 lité (2) et dans les mêmes régions, l'inégalité 



(3) \g(^)\< ^^ 



» Cette inégalité fournit une limite supérieure des fonctions méro- 

 morphes satisfaisant aux deux premiers types d'équations différentielles 

 du second ordre, signalées par M. Painlevé. Dans l'inégalité (3) nsera, en 

 tout cas, comparable à ^^ p étant l'ordre dej (x); pour les fonctions 

 entières de M. Painlevé, cet ordre aura l'une des valeurs | et 3 que j'ai 

 indiquées dans ma précédente Note. 



» La remarque faite plus haut sur la distribution des points a, peut 

 servir aussi à préciser notablement un théorème de M. Hadamard. 



» Supposons, pour simplifier, que l'ordre p def(x) ne soit pas entier. 

 On peut démontrer que /'on a, sur une infinité de cercles de rayons indé- 

 finiment croissants, 



/'(x)y-e-''". 



h étant un nombre fini, et n ayant la même signification que plus haut. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Remarque sur la Communication précédente. 



Note de M. Paul Painlevé. 



« Tous les analystes apprécieront à leur haute valeur les résultats con- 

 tenus dans les deux dernières Communications de M. P. Boutroux. Je 

 voudrais insister ici sur leur application aux équations différentielles du 

 second ordre. 



.) Les équations du second ordre et du premier degré qui engendrent 

 des transcendantes uniformes nouvelles sont réductibles, comme je l'ai 



