» Les intégrales jk(^) de ces équations sont méromorphes et représen- 

 tables par le quotient de fonctions entières, soit u{x), qui vérifient une 

 équation différentielle du troisième ordre très simple, qu'on déduit aussitôt 

 de chacune des équations (i), (2) et (3). Pour que l'intégration des équa- 

 tions (i), (2), (3) fût achevée, il restait à limiter supérieurement le module 

 de ces transcendantes entières; autrement dit, à trouver une limite supé- 

 rieure M(r) de |//(a-j| pour \x\=r.Y.n effet, chaque fonction u{x) est 

 développable, dans le plan des x, en série de Mac-Laurin; mais il était 

 indispensable de conndMr&V approximation A\ec laquelle ce développement, 

 limité au terme de rang n, représente la fonction dans un cercle donné. 

 La connaissance de M(/') définit aussitôt cette approximation. Plus géné- 

 ralement, il restait à étudier les transcendantes y{x) et u(^x) dans le do- 

 maine du point essentiel a; = 00, au point de vue de la croissance, du genre, 

 de la répartition des zéros et des pôles, etc. 



» Dans mes dernières publications j'avais dit que cette étude pourrait 

 se faire en appliquant, au point a; = 00, la méthode même que j'avais 

 employée pour discuter les singularités de jk(^) à distance finie, et qui 

 m'avait permis fie démontrer que ces singularités étaient nécessairement 

 des pôles. Cette méthode m'a permis, depuis lors, de définir avec une 

 grande précision, pour les équations (i), (2), (3), la nature du point es- 

 sentiel a; = cc. Pour les équations (i) et (2), les plus importants de ces ré- 

 sultats coïncident avec ceux que vient de faire connaître M. P. Boutroux. 

 Si je signale cette coïncidence, ce n'est certes pas pour diminuer le mérite 

 de M. Boutroux. Il est, au contraire, très remarquable que des théorèmes 

 aussi généraux que les siens, appliqués aux équations (i) et (2), lui 

 donnent presque immédiatement (en partant de ce seul fait que l'intégrale 

 est méromorphe) des résultats aussi précis. 



» J'indiquerai brièvement pour l'équation (i) les conclusions auxquelles 

 j'arrive, sous la forme même que leur donne la méthode employée. 



» Une intégrale quelconque j(x) de cette équation est, pour les grandes 



