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» En premier lieu, déduisons quelques séries particulières assez inté- 

 ressantes. 



M En prenant d'abord 



on trouve la série de factorielles de Binet, et l'on peut démontrer que 

 cette série est convergente pourvu que S{.{x) > o. 

 )) Prenons ensuite 



/■(0 = (i-f-0^ 



la fonction génératrice a les mêmes propriétés que la précédente. Ici nous 

 obtiendrons les séries de Schlomilch, qui représentent comme des cas par- 

 ticuliers le logarithme-intégrale et la transcendante de Rramp. Ces séries 

 sont convergentes aussi pourvu que ^(a) |> o. 

 » Soit enfin 



f{i) = (, + r-f-'^- 



mêmes propriétés de cp(2) et même champ de convergence. Nous trouvons 

 ici la série de factorielles, nouvelle, je crois, pour la fonction 



Y'W(a-) - Z<w(a^), 



où Y"^'(a:) est la fonction cylindrique de seconde espèce, tandis que l'on a 

 posé 



Z'i^'(ip)= ^^ / sin(a-sino)(cos(p)=i'rf<p, si{[j)> - -■. 



fonction qui est analogue à la fonction cylindrique de première 

 espèce ¥^\x). 



)) Dans une autre occasion je montrerai, en m'appuyant sur les re- 

 cherches générales de M. U. Dini, dans son Ouvrage Série di Foiirier (t. I, 

 Pise, 18H0, et des parties inédites du Tome II), qu'il n'est pas possible de 

 développer une fonction arbitraire en série infinie oîi ¥^\x) et Z"^'(a;) 

 jouent le même rôle que cosa? et sina; dans les séries de Fourier. Cepen- 

 dant, il est possible de développer dans une telle série des fonctions non 

 développables en séries ordinaires de Fourier. 



» Revenons maintenant aux problèmes plus généraux concernant les 

 séries de factorielles. 



