SÉANCE DU 20 JANVIER IC)02. l5q 



» Il est évident qu'une fonction de x ne peut être développée que d'une 

 seule façon selon des faclorielles de l'argument x. Quant au développe- 

 ment selon des factorielles de l'argument a.x -\- ^, <x. eX. [3 étant deux con- 

 stantes finies, nous avons d'abord 



a 



(x~^) = f (p(Z)Z^-P-VZ; 



c'est-à-dire que la fonction génératrice de Q.(x — p) sera cp (Z) Z"P, ce qui 

 montre clairement que ^(x) peut être développée en série de facto- 

 rielles de l'argument x -h <^. Nous aurons de même 



1 



= f <p(e-') e ^dl^o^f "?(p-") e-'^dl. 



oii la dernière intégration doit être effectuée de ^ = o à / = 00 le long de 



la ligne droite passant par le point -■ Or, il faut nécessairement que cette 



intégration s'effectue le long de l'axe des nombres positifs; pour obtenir 

 cela, intégrons le long de la circonférence d'un secteur de rayon infini- 

 ment grand et limité par les deux lignes droites susdites. De cette manière, 

 l'intégrale de Caucliy donnera 



pourvu que l'on ait à la fois 



Jl(a)>o, A(it)>o, A(j:-aA)>o, Af;'^^, 



X désignant le premier nombre caractéristique de ç (Z). 



» Supposons maintenant ou que ç(Z) soit holomorphe dans toute 

 l'étendue du plan, ou que Z = o soit le seul point singulier fini de <p(Z), 

 Z = o est toujours le seul point singulier fini de ^(Z") et le nombre carac- 

 téristique de cette fonction est respectivement — A(a) et XA(a). 



» Posons a.x au lieu de x, nous aurons le développement cherché, dont le 

 champ de convergence se détermine aisément. 



» Le coefficient générai se présente sous cette forme remarquable : 



n — 1 



2c:a"-'-7"-')(o), f{l) = r^{e-'). 



