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qu'après un nombre limité d'opérations on parvient à une ligne transfor- 

 mée de multiplicité moindre, mais qui pourra bien contenir encore des 

 points 5-ples isolés. Je démontre cette proposition pour une suite conve- 

 nable de certaines transformations monoïdales spéciales. 



» Si, après une succession de lignes 5-ples, on obtient, comme on vient 

 de le dire, des points 5-ples isolés, on pourra en fixer un et opérer sur 

 celui-ci comme j'ai dit précédemment pour les points *-ples isolés. En 

 procédant ainsi, on définit une succession de points et de lignes *-ples. 

 Conformément au fait que la transformation d'un point isolé ou d'une 

 ligne peut produire plusieurs points ^-ples, un même point ou une même 

 ligne peut être l'origine de plusieurs de ces successions. Il faut montrer 

 que ces successions sont limitées et en nombre limité. 



» Dans une succession j'appelle point A''> le premier point de tout 

 groupe de points 5-ples isolés successifs dont elle se compose, et ligne L*'' 

 la ligne transformée de la ligne s-ple qui le précède, et sur laquelle il se 

 trouve. 



)) J'ai montré (Note citée, n°9) qu'un point A''^' étant fixé, on peut 

 toujours déterminer dans l'espace de départ deux surfaces d'un ordre 

 limité (je choisis deux polaires de la surface donnée) auxquelles la succes- 

 sion des transformations qui conduit à A'^' fait correspondre deux surfaces 

 passant par A''^ de manière que leur intersection passe aussi par A'^' avec 

 une partie qui ne coïncide pas avec L*'. Deux cas peuvent se présenter : 

 ou bien cette ligne est une transformée d'un point ou d'une ligne de la 

 succession, ou bien cela n'est pas le cas, quelque avancé qu'on prenne A'^' 

 dans la succession considérée. Dans le second cas, je parviens à construire 

 une courbe, dans l'espace primitif, que la succession de transformations 

 qui conduit à A''^' transforme en une courbe par A''^', et dont l'ordre reste 

 inférieur à une limite fixe, indépendante du rang de A<'' dans la succes- 

 sion. Cela établit une limite supérieure pour le rang de A'^' et par suite 

 pour le nombre des points et des lignes de la succession. 



M Le premier cas demande une analyse d'une autre nature. Quand il se 

 vérifie pour un certain A'^', il en est de même pour tous les A'''' suivants. Je 

 montre que, dans la succession considérée de points et de lignes .v-ples, 

 les groupes de lignes ^-ples successives en contiennent un nombre qui va 

 décroissant jusqu'à se réduire à i ou à 2, et qu'enfin aussi les groupes 

 d'une et de deux lignes ne peuvent se présenter indéfiniment. Après un 

 procédé limité, on ne rencontre donc plus dans la succession que des points 

 i-ples isolés, et elle est donc limitée. Il s'ensuit très aisément que le nombre 



