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une fonclion entirrc d'urJre apparent Jï/ii f, et 



//(=; = a„-ha,;+...-i-a,='. 



» On peut toujours tromper r, ':z i assez petit pour que, dès que l dépasse 



une ceiiaine limite, à toute racine de /i{z-) de module inférieur à l'''^" cor- 

 responde une racine de f{z) comprise dans la même circonjerence de 



rayon r,. 



» Ces résultats s'étendent aux fonctions F(-) ''y-Tit un point singulier 



essentiel de la forme F(r.) -f- <?( -^ ) - /(=) et ç(>; étant des fonctions 

 entières de genre fini. F(z) peut d'ailleurs se mettre sous la forme 

 /, (=)o,(-^)> /, (z) et 9,(.:) étant des fonctions enlières de même ordre 

 que /"et cp respectivement. On en conclut le théorème de M. Picard géné- 

 ralisé pour les équalions/(::) + 0(3 j ^ P(s)- où P est un polynôme, et 



même des extensions de théorèmes de M. Borel. 



» TI. Considérons les formules de récurrence de Newton 



A„-y, + A, = o, 



Ao^, + A,.v, + 2A. = o, 



A.,s„, -+- A, x,„_, +...+ m A„, = o, 



* ■' ni 



qui donnent la somme des puissances semblables des inverses des racines 



de l'équation 



A „ H- A , a; + . . . -f- A^x'' — o. 



» i" Les mêmes formules donnent pour une fonction entière d'ordre ^' fini 

 les sommes des inverses des puissances entières > p'. , 



» On en conclut diverses applications dont la démonstration est simple; 

 nous signalerons pour le moment les suivantes : 



M 2" si f{sc) est une fonction entière donnée d'ordre apparent m, v le 

 plus grand entier ■< m, l'équation f{x ) = a a toujours une racine finie, sauf 

 peut-cire pour au plus v valeurs de a. 



» C'est une partie d'un théorème connu de M. Picard. 



» 3" Pour que toutes les racines de Féqualion f{oc) — o soient réelles, 

 il faut *!,„,> o dès que 2m >p'. Pour qu'elles soient positives, d faut 

 *)„ > o dès que ni^z'; l'équation n'a alois que des variations si f{z) 



