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OÙ '!'(-), 4'o(-)' • • •' '\'ki^) sont des fonctions entières. On peut le dé- 

 montrer par un procédé analogue à celui qui sert à établir la série de 

 Laurent. 



» A cause des analogies de ces fonctions avec les fonctions entières, 

 nous les appellerons Aes fondions quasi-entières. 



)) Si, en particulier, '^{z), >]/o(2), • . • , ^k{^) sont des fonctions entières 

 de genres finis et d'ordres apparents p, p„, . . . . p^., on dira que les ordres 

 apparents de F(^) sont p, po, . . . , p^. 



» Nous ne considérons dans ce qui suit que le cas où les points cri- 

 tiques sont essentiels. 



)) I. F(s ) peut se mettre sous la forme 



F(:;;=nn„...n,e*, 



n, Kj, . . . , Il/t étant des produits infinis de facteurs primaires relatifs aux 

 points critiques ce, a,,. . . . , Uj^, et <I> une fonction quasi-entière, ou encore 



¥{z) = ^(s) r,, [-7^) ■ ■ ■ ^k[jé^)' 



nT(^), cT„(^), . . . , Tô/^Çz) étant des fonctions entières. Si F(z) est d'ordres 

 apparents finis p, po. • • -. p/j, ces fonctions entières sont d'ordres apparents 

 finis p, pd, . . . . p^. respectivement. 



» II. Quand h\z) est d'ordres apparents finis, parmi toutes les fonctions 



F,(z)^^(z)¥{z)-rf,(z), 



où (p(s) et (p, (z) sont d'ordres apparents tous plus petits que ceux de F(s), il 

 y en a au plus une d'ordre réel inférieur à la fois à p, p„, . . ., p^, les fonc- 

 tions F, (s) qui ne diffèrent que par un facteur constant n'étant pas consi- 

 dérées comme distinctes. 



» Parmi les équations Y{z) — ^ ' J ■ = o il y en a une au plus d'ordres 



réels, tous inférieurs à ceux deYi^z^. 



» III. Quand ¥{z) est d'ordres apparents finis , la condition nécessaire et 

 suffisante pour que F (s) soit à croissance régulière (*) aux environs de ses 

 points critiques et de oc est, en général, que la distribution de ses zéros y soit 

 régulière, c est-à-dire que les fonctions m(^z), ny,(z), . . ., C7^.(^), ou, ce qui 



(') D'après la définition de M- Borel. CeUe propriété ne peut comporter d'excep- 

 tions que quand certains des ordres apparents sont entiers. 



