4lO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



je suivrai repose sur la considération de deux transformations de contact 



particulières, que je vais définir. 



» 1 . Soit D une droite quelconque, que l'on peut appeler l'axe de la trans- 

 formation. A chaque élément {m, d) formé par un point m et une droite d 

 issue de ce point, faisons correspondre l'élément ([/,, l), où ij. est le centre 

 de l'un des deux cercles tangents à l'axe et à d au point m. Cette transfor- 

 mation (U) fait correspondre à chaque élément {m, d) deux élé- 

 ments ((/., â). La théorie des enveloppes montre qu'elle est une transfor- 

 mation de contact. Elle transforme évidemment les cercles du plan en 

 paraboles ayant même direction d'axe (direction perpendiculaire à D). 



» A cette transformation (U) faisons correspondre la transformation 



ponctuelle (u) 



mp = kin^p, 



oîi p désigne la projection commune des points m et m^ sur D et où k est 

 une constante quelconque. Deux tangentes correspondantes rencontrent 

 aussi l'axe D au même point. Cette transformation (m) laisse invariant 

 l'ensemble des paraboles considérées. 



» 2. Soit O un point fixe quelconque. A chaque élément {m, d) faisons 

 correspondre l'élément unique ([i, S), où ja est le centre du cercle (O, m, d) 

 passant par O et tangent à la droite d au point m, et où la droite S joint le 

 point [j. au point d'intersection T de la droite û? et de la tangente en O. Cette 

 correspondance définit aussi une transformation de contact (V). Elle 

 transforme l'ensemble des cercles du plan en celui des coniques ayant pour 

 foyer le point O. 



» A cette transformation de contact faisons correspondre la transfor- 

 mation ponctuelle {v) 



^ l^ = k 



Om O »? , 



où m et m, sont en ligne droite avec le point O. Cette transformation (v) 

 laisse invariant l'ensemble des coniques considérées. 



)) 3. Ceci posé, il est clair que la transformation (U«U~') laisse invariant 

 l'ensemble des cercles du plan. Deux cercles correspondants ont pour axe 

 radical la droite D. On peut construire deux éléments correspondants 

 {m, d) et (m', d') de la manière suivante : 



» Considérons les deux cercles tangents à l'axe et à la droite d au 

 point m. Sans modifier les points de contact de ces cercles avec la droite D, 



