46o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



e(x,y, z,p,q) et e'(a-', y', z',p', q') de l'espace. Quelles que soient les 

 fonctions X, Y, P, Q, pourvu que le déterminant fonctionnel 



D(X,Y, P, Q) 



ne soit pas nul identiquement, les formules (i) définissent une transfor- 

 mation de Backlund permettant de ramener l'une à l'autre deux équations 

 aux dérivées partielles du second ordre. En écrivant, par exemple, que 

 p dx' -\- q dy' est une différentielle exacte, on est conduit à une équation 

 du second ordre linéaire en /■. s, t, ri — s^ , et ne renfermant pas z. Mais, 

 quoique la transformation (i^ dépende de quatre fonctions arbitraires de 

 X, y, p, q, toute équation de Monge-Ampère ne renfermant pas l'in- 

 coniuie z ne peut pas être obtenue de celte façon, contrairement à ce qui 

 paraissait a priori assez vraisemblable ( ' ). En cherchant comment on peut 

 caractériser les équations qui jouissent de cette propriété, j'ai été conduit 

 à quelques résultats relativement simples, que j'indiquerai rapidement. 

 » Posons 



(2) Pf/.X: + Qf/Y = F,f& + F,f/v + F3f//; + F, f/y; 



la condition d'intégrabililé de p' dx' -\- q' dy' s'écrit, en n'effectuant aucune 

 réduction sur les coefficients. 



(3) %n{rl — S-) +■ Ry^,r + R,,/ + S^ + «.^j. = o, 



les coefficients R^„^, R^,^,, R,^, S, R^;, ayant les valeurs suivantes : 



_ «^ _ dFi p _ ^ _ ^ 



''" ~ d<i dp ' "' ~ ây dp ' 



•*' à(j dx. ^-^ dy dx 



dy dq dp dx 



» 2. Étant donnée une équation de la forme (3), dont les coefficients 

 sont indépendants de s, pour qu'elle provienne d'une transformation de 

 Backlund de la forme (1), sans aucune réduction sur les coefficients, les 

 équations (4) doivent être compatibles, quand on y regarde F,, F.,, F3, F4 



(') La remarque s'étend aux transformations de Backlund les plus générales, ainsi 

 que l'a montré M. J. Clairin, daus une Thèse récente. 



