SÉANCE DU ?4 FÉVRIER 1902. 46 1 



comme inconnues. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que les coeffi- 

 cients Ry,, Rpg, Ryj„ Rj;,,, S vépifieut les cinq relations suivantes : 



dx dq dp dq dx dy ' 

 d'R,„ ^ d'-R„, _ d'-n^y 



dy- 



(5) 



dx- 



d'R,, 

 dy dq 

 d^Rj^ 



dy' 



d'-Rp, 

 \ dx dq ' àx- 



-H 



dydq 



dx dp dp^ 



dx dp dp- 



à'R,„ d-R.y 



àqdy 



dq'- 



d'R.y 

 dx dp 



d'-R,;, 

 dq"- ' 



dy dq ' 



d'R.,, 

 dx dp 



» Ces conditions étant supposées vérifiées, les équations (4) admettent 

 une infinité de systèmes de solutions que l'on obtiendra par des quadra- 

 tures. Si y,, fi,fi,f:, forment un premier système de solutions, la solution 

 la plus générale sera donnée par les formules 



F,=/,+A/>+-^, F,=/,+Ay- 



dx 



dy 



^.=/.+ |- 



F,=/,+ 



do 

 dq' 



A étant une constante arbitraire et ç une fonction arbitraire. Il suffira en- 

 suite de ramener la forme dePfaff 



(6) 



/, dx -j-/, dy +/., dp rF/i dq ■+■ k(pdx -j- q dj) -\- df^ 



à une forme réduite F dX -h QdY pour obtenir une transformation de 

 Bâcklund de la forme (i) conduisant à l'équation proposée (3). Toutes ces 

 transformations ne sont pas essentiellement distinctes: celles que l'on 

 obtient en faisant varier la fonction cp seulement s'obtiennent en combi- 

 nant l'une d'entre elles avec des transformations de contact. On peut donc 

 supposer ç = o, mais, en faisant varier la constante A, on obtient des 

 transformations distinctes. Si donc on connaît une première transforma- 

 tion de Biicldund conduisant à l'équation (3). on en déduira une infinité 

 d'autres en considérant la forme de Pfaff 



P rfK -+- Q r/Y + A (/> dx + q dy), 



où A est une constante arbitraire. 



» 3. Pour qu'une équation (3^ provienne d'une des transforiuations 

 considérées, il suffit que les cinq équations obtenues, en remplaçant R^^ 

 par >.Rp^, R^^ par iR^y^ • • • . dans les formules (5), admettent une solution 



