5l8 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» Les lignes tangentes à pes directions ont pour équation 



P^ + Q2=const.; 



nous les appellerons des lignes de modules constants. Elles environnent les 

 zéros de /(s) et sont orthogonales aux lignes de modules minima. Ces 

 deux familles correspondent dans le plan des PQ à la famille des cercles 

 ayant pour centre l'origine et à la famille des droites issues de l'ori- 

 gine ('). 



» On déduit de là diverses conséquences; nous mentionnerons ici les 

 suivantes : 



)) II. Si J\z) est un polynôme, /est toujours infini pour i; = ce : les 

 lignes de modules constants sont fermées. Une ligne de décroissance 

 maxima des modules aboutit forcément à un zéro de f(--) à distance finie. 

 On en conclut le théorème de d'Alembert. 



)) Si /(^) est une fonction elliptique doublement périodique de genre n, 

 on démontre par la considération des lignes de modules décroissants que 

 les équationsy"(s) = a (a quelconque) ont le même nombre de racines, 

 par suite n racines, dans un parallélogramme des périodes. 



» De même si 



ç(M tend vers o avec H> et si f{z) est encore une 



fonction elliptique de genre n, l'équation 



/"(s j -f- tp ( - ) = a («quelconque) 



a toujours n racines dans un parallélogramme des périodes, si ce parallé- 

 logramme est suffisamment éloigné de l'origine, et ses racines tendent 

 vers les racines correspondantes de f{z) =« quand le parallélogramme 

 s'éloigne à l'infini. 



» On peut encore étendre les mêmes procédés à d'autres fonctions, par 

 exemple aux fonctions dont les points critiques à distance finie sont isolés 

 et sont des pôles ou des points logarithmiques ou algébriques où la fonction 

 devient infinie (-). 



» Tout ce qui précède sera développé dans un prochain Mémoire. » 



(' ) Ce qui précède nous a servi pour établir des résultats mentionnés dans nos 

 Communications des g et 23 décembre igoi- 



(') Nous croyons devoir mentionner ici, comme suite à notre Communication sur 

 les fonctions quasi entières, que certains résultats s'étendent aux fonctions quasi 



