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» Considérons tout d'abord la classe des fonctions entières définies par 

 la propriété suivante : il existe un nombre positifs tel que l'on ait, à partir 

 d'une certaine valeur de i, 



I«/I>(log0'- 

 J'appellerai ces fonctions fondions de type exponentiel simple; ce sont 

 celles qui se rapprochent le plus des fonctions de genre fini. Si G(^) est 

 l'une d'elles, je donnerai à p,- la valeur entière la plus voisine de fflogj, 

 ç ayant été pris aussi petit que possible. 



» On a le théorème suivant qui précise les résultats obtenus par 



M. Borel : l'inémlilé 



1 



(i) |«/|>^(iosO^ 



\ et >: étant des nombres positifs, entraîne à partir d'une certaine valeur 



de\z\ 



(2) KK=)I<^' ^' • 



quelque petit que soit s. 



» La même inégalité (1) entraîne, dans des régions indéfiniment éloi- 

 gnées de l'origine, 



- G'( = )| 



/UiNo (t -^=r, — r ,..-,^1 = 1 



G{z) 



GM!<-(^r 



dz- 



quelque petit que soit £. 



» Ces limites supérieures sont d'ailleurs atteintes sur des lignes s'éloi- 

 gnant indéfiniment de l'origine. 



» On étudiera d'une manière analogue les produits de facteurs pri- 

 maires croissant plus rapidement. Si le produit n'est pas de type exponentiel 

 simple, mais qu'il existe un nombre fini a tel que l'on ait, à partir d'une 



certaine valeur de i, 



1 



Ifl,|>(iogiogty, 



nous prendrons pour p, l'en^/er le plus voisin de «7 logj loglog?. On aura 

 alors, à partir d'une certaine valeur de r, 



.(1+1)1:1" 



|G(.)|<e^' 

 £ tendant vers zéro avec -■ Une généralisation aisée permettra de passer 

 aux cas oîi la densité des zéros est plus grande encore. 



