SÉANCE DU 3 MARS 1902. 521 



» La mélhode que j'ai suivie pour étudier les deux premiers types 

 d'équations à intégrales méromorphes signalées par M. Painlevé m'a 

 ]>ermis également d'étudier les équations du troisième type 



(3) J"= V + '^'(*>''+ P) + ^"(ï.X' + ^ 



où l'on ay=^ — i,S=i,a, p quelconques, ou y = — i, S^o, (3 = 1, 

 a. quelconque, on y = S = o, a = — i , [5 ^ t . 



» J'ai reconnu que les intégrales de l'équation (3) sont de type expo- 

 nentiel simple, et j'ai pu déterminer leur mode de croissance. 



M M. Painlevé a démontré que la transcendante y s'exprime par le 



quotient — de deux fonctions entières vérifiant les équations simultanées 



ce- 

 u 



lie' / ^ c-u 



» Au lieu de y, j'ai considéré la fonction méromorphe "(=^6' qui 

 satisfait à l'équation 



(4) CC"= C^ + oc^ + r'C' + fi'Ce'^ + Se"-- ; 



on a 



» L'avantage de l'équation (4) est qu'elle met en évidence la façon dont 

 se comporte la fonction Z, au voisinage de l'un de ses pôles. Son étude m'a 

 conduit aux résultats suivants : 



» Désignons par M(/') le module maximum de u pour | ; | = /-, par e un 

 nombre positif arbitrairement petit, par 0(r) une fonction uc r croissant 

 arbitmirement lentement (ce sera, par exemple, logr ou loglogr) : 



» 1° Si y = o, S = o, a = — I, p = t, on a, à partir d'une certaine 

 valeur de r, 



» 2° Si y ^ — I, = I, a et p étant quelconques, on a, à partir d'une 

 certaine valeur de r. 



