SÉANCE DU lo MARS 190'J. 585 



58 jours d'observation de ce trimestre, il y en a eu 48 sans taches ( le nombre 

 obtenu précédemment était de 49 sur 73 jours); il en résulte un nombre 

 proportionnel de o,83 au lieu de 0,67. 



» C'est, jusque-là, le minimum des résultats trimestriels que nous ayons 

 enregistrés. Il semblerait que le minimum undécennal des taches s'est pré- 

 senté vers le milieu du mois de septembre, mais il y a lieu d'attendre 

 encore pour fixer celte époque d'une manière plus certaine. 



» Régions d'activité. — Les facules ont fourni des nombres un peu plus 

 faibles dans ce trimestre que dans le précédent : on a noté 5o groupes et 

 une surface totale de 12,0 millièmes, au lieu de Sg groupes et i5,6 mil- 

 lièmes. 



» Leur répartition de part et d'autre de l'équateur est de i3 groupes au 

 sud au lieu de Sg, et de 37 au nord au lieu de 20. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Un théorème sur les séries trigonométriques. 

 Note de M. H. Lebesgue, présentée par M. Picard. 



« M. Cantor a démontré qu'une fonction 7(9) ne pouvait admettre 

 deux développements de la forme 



(') /(?) = «0 -(- 2(«„cos«9 4- è„sin«9). 



On peut alors se demander quels sont, toutes les fois qu'il existe un tel 

 développement, ses coefficients. Lorsque /(ç) satisfait aux conditions de 

 Dirichlet, on sait que les coefficients sont déterminés par les intégrales 

 d'Euler et Fourier; toutes les fois que la série (i) sera intégrable, terme à 

 terme, il en sera de même. MM. Dini, Ascoli, P. du Bois-Reymond ont 

 étudié l'intégrabilité de cette série; la conclusion de leurs Travaux est 

 que, si f{<^) est bornée et intégrable, les coefficients du développement 

 sont les intégrales de Fourier. 



» Je me propose de montrer que des raisonnements analogues à ceux 

 des auteurs cités permettent d'étudier le cas le plus général où /(<p) est 

 bornée quand on adopte la définition de l'intégrale que j'ai indiquée dans 

 une Note des Comptes rendus (29 avril 1901). 



» On sait que si F(ç) est la série obtenue en intégrant deux fois, terme 

 à terme, le second membre de (i), on a 



(2) li^^ /'-(y + c.) + F(^,-a)-.F(,) ^^.^^^^^^^^^^^ 



C. R., 190a, 1" Semestre. (T. CXXXIV, N» 10.) nr. 



