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„ Il est facile de montrer que '^ et/(cp) sont bornées en même 

 temps. Maintenant, si l'on remarque que la fonction/(?) étant la limite de 

 fonctions continues, a une intégrale, au sens généralisé du mot, pour pou- 

 voir intégrer les deux membres de ( .), il suffira de se servir d un théorème 

 démontré par M. Osgood dans le cas particulier des fonctions continues, et 

 qui est tout à fait général: Si les fonctions sommables /„0^) ont une 

 Lite fU) et si, quels que soient «et <p, l/(?) -/.(?)! reste mfeneur a M, 

 Finté-ralede/estla limite des intégrales des fonctions/, quand n aug- 

 mente indéfiniment. En intégrant deux fois l'égalité (2), on trouve 



F((p) = r^ f f{t) dt 4- A'^ + B, 



où A et B sont des constantes. Le procédé de Fourier donne les coefficients 

 du développement de F(cp) - ^9% ce qui donne des égalités telles que 



_ «^ ^ _ 2«o _^ i f'^cos/za.rfoi r d^f f{l)dt. 



„ Pour transformer ces expressions, je généralise la notion d'intégrale 

 multiple comme celle d'intégrale simple et je démontre que, dans des cas 

 étendus, le calcul d'une intégrale multiple équivaut a des calculs d inté- 

 grales simples. Cela permet d'écrire 



et il suffit de se rappeler que a„ tend vers zéro et de démontrer qu'il en est 

 de même des intégrales de Fourier pour conclure que : 



« Si une fonction donnée admet an développement tngonometnque, c est la 



T rétds"d'Tbord parvenu à ce résultat par une méthode peut-être moins 



naturelle, mais plus rapide. . , r ^• 



>, Pour r< I , les coefficients du développement de la fonction 



/(cp, r) = ao-i-2r"(a„cos«(p + b^sinno) 



s'obtiennent par le procédé d'Euler et de Fourier; du théorème sur l'inté- 

 gration énoncé précédemment, on déduit qu'il en est de même pour ;• _ i, 



