SÉANCE DU lo MARS 1902. 58^ 



sf /(ç, r) est bornée. Or de la proposition relative à ^Hill résulte que : 

 si la partie réelle d'une série de Taylor est convergente sur le cercle de 

 convergence et a une somme inférieure à M, elle a aussi une somme 

 inférieure à M à l'intérieur du cercle; la proposition est donc démontrée. 



>) On peut étendre un peu ce résultat en supposant que/(ç) n'est pas 

 définie pour toutes les valeurs de (p. Le résultat précédent subsiste si les 

 valeurs où /(-p) n'est pas définie forment un ensemble fermé de mesure 

 nulle. Cette remarque était nécessaire pour que le théorème de M. Cantor 

 soit compris comme cas particulier dans le précédent. 



» On peut aussi supposer que la fonction /"(ç) devient infinie dans le 

 voisinage d'un nombre fini de points en chacun desquels les conditions de 

 Riemann sont remplies. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur les séries de factonelles. 

 Note de M. J.-C. Klutver, présentée par M. Picard. 



« Tout récemment, M. Niels Nielsen a donné dans les Comptes rendus 

 un exposé de ses recherches sur les séries de factorielles. Je désirerais faire 

 connaître à l'Académie que, de mon côté, j'ai obtenu quelques résultats 

 propres à mettre en lumière les conditions nécessaires et suffisantes qui 

 doivent être remplies par une fonction >^{z) pour rendre possible un tel 

 développement. 



* Dans mon Article : Over de onUvikkeling von eenefunctie in eenefacul- 

 teitenrechs (Sur le développement d'une fonction en une série de factorielles) 

 {NieuwArchiefvoor Wiskunde, 2« série, t. IV ; Amsterdam, 1900), je consi- 

 dère le développement 



?("-)=2 



"I ^« 



•s(- + i)(cH-2)...(s-4-/î) 



et je suppose que son champ de convergence absolue est le demi-plan à 

 droite de l'axe des nombres imaginaires, c'est-à-dire je suppose que 

 l'on ait • J jr ^ 



Lim 



X, 



= r, Limn i — 





= I, 



» Dans ces conditions, il est facile de voir que la fonction ç(=) possède 

 les deux propriétés caractéristiques suivantes : 



