588 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



» 1° Désignant par / une quantité réelle entre o et i, on trouve 



^J '\(y)(i-trdy = ^ij'' = h(t.) 



et la fonction h(t) est holomorphe à l'intérieur du cercle |ï| = i; 



» 2° De la fonction h{i) on peut remonter à la fonction o(-), puisque 

 l'on a 



f'h(l){i-ty-'rh = r^(.). 



» Réciproquement, toute fonction 'p(^) possédant simultanément les 

 deux propriétés susdites est capable d'un développement en série de facto- 

 rielles, et cette série sera absolument convergente à droite de l'axe des 

 nombres imaginaires. 



» Des fonctions existent qui possèdent l'une ou l'autre des deux pro- 

 priétés. Par exemple, en prenant <p(:) = r(s), il s'ensuit une fonction 

 h(t) convenable, puisqu'on a h(t) = c'~\ c'est la seconde condition qui 

 n'est pas remplie; en effet, l'intégrale 



f é-' {\ - tf-' dl 



ne reproduit pas r(:;), elle représente la fonction P(-) de Prym. D'autre 

 côté, si l'on prend 9(2) = ^^1 on trouve une fonction A(/) qui n'est pas 

 holomorphe à l'intérieur du cercle | / 1 = i, mais l'intégrale 



^ h{l){\ ~tf-'dl 



se trouve bien égale à ç(-). Donc, aucune des fonctions 1(3) ou —^ ne 



peut être développée en série de factorielles. 



» Comme j'ai pu l'établir dans l'Article précité, un tel développement est 



possible pour toute fonction F ( - )i holomorphe pour z = oo; jiar contre, 



il y a des développements qui représentent une fonction entière 0(2). 

 Comme exemple, on peut citer la série de factorielles qui représente 

 Q( — s), la seconde fonction de Prym avec l'argument — z. » 



