63o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



£ (lésignanl une racine cubique imaginaire de l'unité. (Une erreurde tiaus- 

 criplion a été faite pour ces polynômes dans la Note citée.) 

 » L'intégrale (2) devient alors 



(3) ^(i-.)fp^dad,. 



» C'est un exemple d'intégrale double de fonction rationnelle n'ayant 

 pas de résidus, mais ayant des périodes. 



» En fait, les cycles à tleux dimensions correspondant aux périodes 

 de (3) rencontrent la ligne singulière de l'intégrale à l'infini ou à distance 

 finie en certains points (m, v) pour lesquels le polynôme D s'annule. Ces 

 points correspondent aux valeurs 



qui annulent à la fois les quatre polynômes A, B, C et D. 



» Ce résultat particulier montre que, pour la formation des périodes 

 des intégrales doubles, il faut, dans certains cas, élargir la notion de cycle 

 à deux dimensions, lorsqu'on veut considérer, non une seule surface, mais 

 une classe de surfaces se correspondant point par point. 



» Les points Vi\)^e\ès fondamentaux et les courbes â'des exceptionnelles 

 dans la transformation birationnelle des surfaces algébriques jouent néces- 

 sairement ici un rôle important. A un cycle à deux dimensions C d'une 

 première surface S ne rencontrant aucune ligne singulière d'une intégrale 

 double relative à cette surface pourra correspondre dans une transformée S' 

 de S un cycle C rencontrant une ligne singulière de l'intégrale transformée, 

 si le cycle C rencontre une ligne exceptionnelle de S; car alors C passera 

 par le point fondamental de S' correspondant à cette ligne exceptionnelle. 



» Il en est ainsi dans l'exemple cité plus haut, où nous avons une cor- 

 respondance birationnelle entre la surface cubique (i) et l'espace (u, f). 

 Les points (4) sont précisément des points fondamentaux à distance finie 

 dans l'espace («, v) pour la transformation entre cet espace et la cubique. 



» On sait d'ailleurs qu'il y a, dans la théorie des surfaces algébriques, 

 de nombreux problèmes où la présence de courbes exceptionnelles vient 

 amener des complications; telles sont, en particulier, les questions rela- 

 tives aux systèmes linéaires tracés sur les surfaces. Aussi doit-on attacher 

 une grande importance à un théorème récent de MM. Castelnuovo et 

 Enriques [Annali di Matematica, t. VI délia série III), d'après lequel, dans 



