SÉANCE DU 17 MARS 1902. 64 1 



hémiêdrie à un groupe Q. A une substitution s de G correspond une substitu- 

 tion q de Q, mais à la substitution unité de Q correspondent dans G les deux 

 puissances de la substitution qui multiplie par — 1 toutes les variables. 



» On sait que tout groupe n — aire P, à coefficients complexes, est iso- 

 morphe à un groupe 'P réel et (2/1) — aire. Pour G, qui est quaternaire, 

 'j? serait octonaire. Le théorème consiste en ce que, si G est régulier, le 

 groupe octonaire ^ devient le groupe quinaire Q. L'unitarité de G se tra- 

 duit sur Q par l'orthogonalité. 



» Théorème II. — Tout groupe © régulier et d'ordre fini, s" il est indécom- 

 posable, est unitaire. 



» Le groupe Q isomorphe à 05 est aussi d'ordre fini. Q est même indé- 

 composable ; car, si Q est décomposable, © l'est aussi. Tous les groupes © 

 décomposables ont été construits dans ma Note du 1 1 mars 1901 . 



» La construction des ([& indécomposables se réduit à celle des groupes Q 

 indécomposables et d'ordre fini. Ce sera l'objet d'une Communication 

 ultérieure. 



» Au cours des présentes recherches, j'ai eu à résoudre le problème 

 suivant qui présente peut-être quelque intérêt : 



» A quelles conditions nécessaires et suffisantes doit satisfaire un groupe 

 n — aire r' , entre les n variables y, pour pouvoir, au moyen d'une transfor- 

 mation linéaire convenable T, j' = T[a;], devenir un groupe Yj. réel et ortho- 

 gonal ? 



M Voici ces conditions : 



» I ° r^. possède deux invariants absolus, un hermitien H {y, y) et un inva- 

 riant quadratique 



R =2^vv. J;7/.' rji, = r^j, j,k = i,i n, 



tous deux à déterminant un. 



i _i 

 » 2° Si T'y. est mis sous la forme unitaire H^r'H ^ par la transforma- 



tion j = H ' [;;] (^comme il est expliqué au n° 31 de mon Travail Sur l'Her- 

 mitien, inséré aux Rendiconli du Cercle mathématique de Palerme, pour 

 1902), dans l'invariant quadratique transformé 



la matrice des coefficients Uj/^ est unitaire. 



