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» Si les conrl liions précédentes sont remplies, la construction de la 

 transformante T ne présente aucune difficulté. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la théorie des fonctions algébriques de 

 deux variables. Note de M. Beppo Levi, présentée par M. Picard. 



« Dans une Communication précédente, j'ai résumé une démonstration, 

 que j'avais donnée en 1897, de la possibilité de dissoudre, par des trans- 

 formations birationnelles, les singularités ponctuelles des surfaces algé- 

 briques de nature quelconque. Une conséquence immédiate de cette 

 dissolution est que, étant donnée une fonction algébriques de deux va- 

 riables X et j, on peut toujours représenter les environs d'un point de la 

 fonction en exprimant x, y, z par un nombre limité de systèmes de séries 

 d'autant tie couples de paramètres: même tous les points de la fonction 

 sont donnés par ua nombre limité de tels systèmes de séries. Il est à re- 

 marquer que le nombre de ces séries dépend de la transformation et que, 

 par exemple, les transformations quadratiques dont on s'est souvent servi, 

 quand elles sont suffisantes, ne conduisent pas généralement au nombre 

 minimum. Ainsi elles donnent plusieurs systèmes pour le voisinage d'un 

 point double conique, quand un seul est suffisant. 



» On s'est plus d'une fois demandé, depuis Halphen, si l'on ne pourrait 

 prendre comme paramètres les deux variables x, y elles-mêmes, ou cer- 

 taines de leurs fonctions simples. Cette question peut être importante dans 

 les applications, et elle est d'autant plus naturelle que la réponse est affir- 

 mative pour les fonctions d'une variable et que c'est la raison pour laquelle 

 on peut obtenir les développements par la méthode algébrique deNewton- 

 Puiseux, en évitant des transformations dont l'usage est pratiquement peu 

 commode. 



» Pour les cas simples, dans lesquels le point est général sur une ligne 

 multiple de la fonction, Halphen a donné la réponse affirmative. En 1900, 

 M. Hensel (') a cru être arrivé à des résultats semblables pour tous les 

 points de la fonction; mais ses conclusions ne sont pas applicables à tous 

 les cas, car les rayons de convergence de ses séries peuvent devenir infi- 



(') Ueber eine neue Théorie der algebraischen Fiinclionen ziveier Variablen 

 [Acla Malhematica, Bd XXIII, 1900; et Jahresbericlit d. d. Malliemaliker-Verein, 

 Bd VIII, 1900). 



