SÉANCE DU 17 MARS 1902. 643 



niment petits avec l'une des variables (la variable ^ d;ms la suite) et 

 s'annuler avec elle (' ). 



)) J'ai cherché à déterminer sous quelles conditions le voisinage du 

 point a;^=x,j=P, -=Y peut se représenter par des développements de 

 la forme 



(i) z^ e^il)-^ e,il)^ + e.il)-^' + . . ., 



ou 



et où a et è sont des entiers, y^, e„, e,, . . ., des séries de puissances entières 

 de S, dont quelques-unes peuvent être identiquement nulles. 



» La courbe z = eg(i), y = j„(^) est évidemment une ligne de la fonc- 

 tion. J'appelle courbe de cliramation de la fonction z l'ensemble des points 

 de diramation des fonctions de la seule variable j qu'on obtient en faisant 

 dans s : a; = fonct. linéaire de j (en particulier a7 = const.). J'appelle 

 courbe polaire l'ensemble des points d'infuii de la fonction z. 



» Je suppose, pour simplifier, que <x, [3, y ne soient pas infinis. Le point 

 (00, p, y) étant suj)posé l'origine de la branche 7 =jo(^), s — z^{i) = el{i), 

 on peut construire un développement de la forme (i), représentant la 

 fonction z au voisinage des points généraux de cette branche, par un pro- 

 cédé tel que l'a indiqué Halphen, en appliquant, par exemple, la méthode 

 de Newton aux fonctions que l'on obtient en posant dans z : x =^ const. 

 (cette constante étant suffisamment voisine de «,), et précisément à leurs 

 branches ayant l'origine sur la branche (jo.-o) donnée. On aura 6 = i ou 

 b > I selon que (jKo> ^0) n'appartient pas ou appartient à la courbe de dira- 

 mation. 



» Les coefficients e^Çc,), <?, (^), ... sont des branches de fonctions algé- 

 briques dont les points critiques sont tous compris parmi les points d'inter- 

 section (-) de la courbe (j„,s„) avec la courbe de diramation ou, si la 

 branche (jo'^o) appartient elle-même à cette courbe, parmi ses points 

 critiques et multiples, et dont les pôles appartiennent à la courbe polaire. 

 Ils sont donc des développements convergents dans un cercle de centre ^ = o 



( ' ) Même si les séries ne commencent pas par des puissances négatives des variables, 

 cas pour lequel M. Hensel admet des restrictions {Jahresb.) 



('-) Il y aurait quelques remarques à faire sur ce qu'on doit entendre par points 

 d'intersection au point de vue de la théorie des fonctions, mais je ne puis insister ici. 



