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et passant par le plus voisin de ces points, en dehors de l'origine du dé- 

 veloppement. 



» Le cercle de convergence par rapport à la variable ti est une fonction 

 continue de ^. Si (j'o>-o) n'appartient pas à la courbe de diramalion, il 

 s'annule aux points où elle rencontre cette courbe (voir la Note précé- 

 dente), en particulier à l'origine du développement si (a, p,y) est un 

 point de la courbe de diramalion. Si la branche (j„, z^) appartient à la 

 courbe de diramalion, il s'annule aux points où elle passe par un point de 

 diramalion de cette courbe ou par un point multiple pour elle qui soit, 

 pour la section plane a; = const., un point où viennent se réunir (sur 

 la surface de Riemann correspondante) deux points critiques. Tels sont 

 les points qu'en adoptant le langage géométrique on peut appeler points 

 multiples isolés de la fonction. 



» Il est à remarquer que l'origine même du développement pourrait être 

 un point de ce genre. 



» Il s'ensuit que, si l'origine n'est pas un point critique de la fonction, 

 ou si, la branche (jo! ^o) appartenant;! la courbe de diramalion, il n'est pas 

 critique pour celle-ci ou multiple du genre décrit ci-dessus, on peut déter- 

 miner un domaine environnant ce point, dans lequel la fonction :; est 

 enlièrement représentée par un développement de la forme (i). 



» Le voisinage des points critiques de la courbe de diramalion et de ses 

 points multiples du genre décrit ci-dessus, en particulier des points mul- 

 tiples isolés de la fonction, est, au contraire, tout à fait singulier par rap- 

 port à la représentation par séries. Une seule série ne suffit plus; mais 

 alors on peut déterminer un nombre limité de branches de courbes appar- 

 tenant à la fonction et ayant ce point comme origine, telles que l'ensemble 

 des développements de la forme (i) relatifs à ces branches prises comme 

 (jo» ^o) comprend dans son domaine de convergence tous les points suffi- 

 samment voisins de ce point. 



» Cependant, il est naturel de demander que, du moins pour les points 

 suffisamment voisins de l'origine, une branche quelconque de la fonction 

 appartienne tout entière au domaine de l'un de ces développements, de 

 manière que les valeurs de z pour lesquels y = p(ï,^'^ soient, dans le voi- 

 sinage de (a, p, y), données toutes par l'une de ces séries, après avoir posé 

 y =^(^i^). Il n'en est pas ainsi pour les développements dont on vient de 

 parler : sous une telle condition, un nombre fini de ces développements 

 ne suffit plus pour représenter la fonction z. » 



