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CORRESPONDANCE . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur un théoj-ême de M. Frobenius. 

 Note de M. de Séguier, présentée par M. C, Jordan. 



« M. Frobenius a démontré récemment au moyen de la théorie des ca- 

 ractères cet important théorème : Si un g„b{^) (« étant premier à b) G a 

 un g„k dont deux éléments ne soient jamais conjugués dans G sans coïncider, 

 G a un ghjormé de ses e^,. En voici une démonstration très simple : 



» Lemme. — Si un g„i, (a premier à b) G a exactement a éléments e„, tels 

 que a,, a.j, ... et b éléments e^, tels que p,, Pa, . . . , il est le produit direct 

 d'un gn et d'un g/,. En effet, d'après un théorème de M. Frobenius, on 

 a a,PA= ?>k0^i- Soient j a,, a„. . . . | = A, j p,, (îo, . . . { = B; supposons d'abord 

 que A soit un g^. On ne pourra avoir |î,p„ — a,, d'où |î, = «, p^', car on en 

 tire, en élevant à la puissance b, i = a, b. On ne pourra avoir p, p^ = a, p,, 

 d'oîi ,6,^2^3' = a,; car, si P2p;'=P<, on a la même impossibilité; si 

 p,p;' = a,, on a p, = a,a:', p" = i ; si poP;' = P,a,, on a p, = a,a:'p;', 

 d'où I = (a, a"')*. Donc tout p,P;t est un p et B un g/,. Supposons mainte- 

 nant que A soit un g^b' et B un gi,a'- Ees p, de A, étant des produits de a, sont 

 permutables entre eux et forment dans A un g/,' abélien normal B'^B; 

 de même les a, de B y forment un ga' abélien normal A'^ A; soit B = 2A'p. 

 Chaque A' p contient un seul e^ tel que p et les e„- forment un g^; d'après un 

 autre théorème de M. Frobenius. Donc les P/ de B forment un gi, qui est B. 

 Donc A'=i = B'. (En général, si un g^ tel que A divise normalement 

 un gab tel que G = 2 Ap et si chaque Ap contient un seul e^ tel que p, A en 

 particulier ne contient aucun ej autre que i. Donc a est premier ab. A est 

 formé des e^, les Cf, en nombre b forment un g/, tel que B, et G est le pro- 

 duit direct de A par B .) 



)) Soit alors a=p^q^ . . . la décomposition de a en facteurs premiers. Le 

 théorème est évident pour a = i, quel que soit b. Supposons-le vrai, 

 quel que soit b pour les valeurs de a plus petites que celle considérée. A étant 

 abélien d'après l'hypothèse, contient un g^j,-^ et l'on pourra admettre 



(') J'écrirai g„i pour groupe d'ordre m, g'' pour groupe de degré n, g"^ pour 

 groupe d'ordre m et de degré ri, Ck pour élément dont l'ordre divise k, et je dirai 

 qu'un groupe G a un groupe A si A divise G. 



