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dont les coefficients p, et q^ sont des fonctions uniformes de la variable 



indépendante ::, soient comniiitatives, c'est-à-dire pour que l'on ait 



PO — O P 



» Il y a trois cas à distinguer : 



» Premier cas. — P„ et Q,„ sont toutes deux irréductibles dans le sens de 

 Frobenius (voir Floqtjet, loc. cit.) : dans ce cas, il faut et il suffit qu'on 

 ait m = n&l que les coefficients /?„ et q^, ne diffèrent que d'une constante, 

 les autres coefficients étant égaux. 



y> Deuxième cas. — P„ est irréductible : alors m doit être un multiple 

 àQn{=kn), et Q,„ se décompose en k facteurs d'ordre n commutatifs entre 

 eux et avec P„ (voir le premier cas). Comme une expression P, du pre- 

 mier ordre doit être regardée comme irréductible, chaque expression Q„,, 

 commutative avec P,, se décompose en m facteurs du premier ordre, 

 commutatifs entre eux et avec P,; elle peut être transformée dans une 

 expression dont les coefficients, sauf un facteur commun exponentiel, sont 

 constants (voir Floquet, loc. cit.). 



» Troisième cas. — Ni P„ ni Q^ ne sont supposées irréductibles : ce cas 

 ne peut être traité dans toute sa généralité, mais pour chaque valeur de m 

 et n on a à résoudre un problème spécial. Cependant U est à remarquer 

 que les deux problèmes pour P„, Qa„ et pour P„, Qa„_, ne diffèrent pas 

 essentiellement, quand on suppose po= '/o = i- J'ai déjà traité les pro- 

 blèmes P., Q,; P., Q.; P,, Q4; P2. Qs; P;.. Q3. et je vais communiquer ici 

 les résultats ; 



» I. Soient 



et 



P,Qo = Q,P„. 



» a. p, = q,, /Jo = 92 + const. (voir le premier cas). 



>) b. Les expressions P., et Q2 se décomposent en deux facteurs sym- 

 boliques du premier ordre, tous commutatifs entre eux; elles peuvent être 

 transformées par la même transformation (normale) dans des expressions 

 linéaires ayant des coefficients constants, sauf un facteur commun expo- 

 nentiel. 



» II. Soient P, et P3 deux expressions linéaires homogènes du second 

 et du troisième ordre avec des coefficients uniformes, les coefficients de y" 



